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Plans/Tétraedre (exo bac+2)
Bonjour!
Alors voilà je suis nouveau et je suis en 2nde année de License de Physique à Toulouse et comme pour beaucoup je suis en plein dans mes révisions pour mes partiels!
Je suis pas mauvais en maths en général mais ma bête noire c'est la géométrie! Et bien évidemment devinez ce que j'ai au programme --" ...
Donc voilà c'est une annale qui me pose vraiment problème même si je doute qu'elle soit vraiment très compliquée.
EXERCICE:
Dans l'espace 
3 muni d'un repere orthonormé (O,i,j,k), on considere le plan (II) d'équation cartésienne: ax+by+cz=1
où a>0
b>0
c>0
a²+b²+c²=1
A le point d'intersection de (II) avec l'axe des x
B ---------------------------------------------- y
C ---------------------------------------------- z
1) Quelle est la distance à l'origine du plan (II)? (la je pense que ça va, je trouve DISTANCE=1)
2) Volume du tétraèdre OABC?
3) Déterminer P, projeté orthogonal de O sur (II)?
4) Aire du triange ABC?
Je suis désolé, ça semble pas dur du tout pourtant je bloque réellement --"
Merci d'avance.
Bonjour,
c'est en effet niveau TS, mais c'est pas grave! 
1) ok pour la distance.
2) Le volume d'un tétraèdre, c'est l'aire de la base, multipliée par la hauteur, divisée par 3.
Or, une base intéressante, c'est par exemple le triangle rectangle OAB...la hauteur correspondant à cette base est la longueur OC puisque (OC) est orthogonale au plan (OAB) !
3)Soient (x,y,z) les coordonnées de P.
Fais un dessin: le vecteur est normal au plan (ABC), donc proportionnel à (a,b,c) :
Ainsi, il existe un coefficient k tel que (x,y,z) = (ka,kb,kc) ...
et comme de plus P est dans le plan, on a ax + by + cz = 1.
On remplace x, y, z, et on utilise a²+b²+c² = 1, il reste k = 1 et donc P(a,b,c).
4) L'aire de ABC, multipliée par la hauteur OP, divisée par 3, est une autre façon de calculer le volume du tétraèdre.
Comme on connait OP et le volume, on en déduit l'aire cherchée...
et hop, c'est fini!
2)
Avec et
3) C'est la valeur que tu trouve en et tu le multiplie par
où
est la normale du plan.
4) Du coup est la hauteur de ton tétraèdre et comme le volume du tétraèdre est aussi
où
est l'aire du triangle
, tu trouves facilement facilement l'aire de ce triangle !
voilà
)
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