QUELLES SONT LES DTES SUPPOSEES ETRE PERPENDICULAIRES?

qu'a tu fait?

Les droites supposées être orthogonales sont les droites HI et HJ

SALUT
D'UNE PART (IJ) ET (HJ) NE SONT PAS PERPENDICULAIRES
D'AUTRE PART LE PRODUIT SCALAIRE DE HB PAR VEC HC NE DONNE PAS -1/4 AH^2V CAR VEC HB ET VEC HC ETANT COLINEAIRES LEUR PRODUIT SCALAIRE= - HB*HC
LE SIGNE NEGATIFS CAR ILS SONT DEUX VECT DE SENS OPPOSES
ET D'APRES LES RELATIONS METRIQUES DANS UN TRIANGLE REC
HB*HC=HA^2

Il faut faire toutes les méthodes. G commencé par la 4. G utilisé le théorème de la médiane, pour HI dans le triangle AHB et pour HJ dans le triangle HJ.

HI= (2AH /2) + (2HB/2) - AB/2

HJ = (2HC /2) + ( 2HA/2) - CA/2

BEN J'AI SUPPOSE QUE LES DTES PERPENDICULAIRES SONT )HI) ET (HJ)
MAIS QUOI POUR LE PRODUIT SCALAIRE?

excusez moi nikole, g fait une erreur ds l'énnoncé ... c'est vect(HB).vect(HC)= AH²

Erreur d'énoncé, ce sont les droites (HI) et (HJ) qui sont orthogonales.

Fais un dessin.

Méthode 1.

vect(HB).vect(HC) = (vect(HA)+vect(AB)).vect(HC)
vect(HB).vect(HC) = vect(HA).vect(HC) + vect(AB).vect(HC)

Mais vect(HA).vect(HC) = 0 puisque (HA) est perpendiculaire à (HC) par hypothèse.

--> vect(HB).vect(HC) = vect(AB).vect(HC)    (1)
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vect(HB).vect(HC) = vect(AB).vect(HC)
vect(HB).vect(HC) = vect(AB).(vect(HA) + vect(AC))
vect(HB).vect(HC) = vect(AB).vect(HA) + vect(AB).vect(AC)

Mais vect(AB).vect(AC) = 0 puisque (AB) est perpendiculaire à (AC) par hypothèse.

--> vect(HB).vect(HC) = vect(AB).vect(HA)     (2)
---
(1) et (2) -->

vect(HB).vect(HC) = vect(AB).vect(HC) = vect(AB).vect(HA)    (3)
-----

vect(HJ) = vect(HC) + vect(CJ)
vect(HJ) = vect(HC) + (1/2).vect(CA)

vect(HI) = vect(HB) + vect(BI)
vect(HI) = vect(HB) + (1/2).vect(BA)

vect(HI).vect(HJ) = vect(HC).vect(HB) + (1/2).vect(HC).vect(BA) +  (1/2).vect(HB).vect(CA) + (1/4).vect(CA).vect(BA)
vect(HI).vect(HJ) = vect(HC).vect(HB) + (1/2).vect(HC).vect(BA) +  (1/2).vect(HB).vect(CA)
vect(HI).vect(HJ) = vect(HC).vect(HB) + (1/2).vect(HC).vect(BA) +  (1/2).vect(HB).(vect(CH) + vect(HA))
vect(HI).vect(HJ) = vect(HC).vect(HB) + (1/2).vect(HC).vect(BA) +  (1/2).vect(HB).(vect(CH) + vect(HA))
vect(HI).vect(HJ) = vect(HC).vect(HB) + (1/2).vect(HC).vect(BA) +  (1/2).vect(HB).vect(CH)

Et avec (3) -->
vect(HI).vect(HJ) = vect(HC).vect(HB) - (1/2).vect(HB).vect(HC) -  (1/2).vect(HB).vect(HC)
vect(HI).vect(HJ) = 0

--> droites (HI) et (HJ) sont orthogonales
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Sauf distraction.  

Méthode 2.

Dans le repère(A ; AB ; AC)

A(0 ; 0)
B(1 ; 0)
C(0 ; 1)
I(1/2 ; 0)
J(0 ; 1/2)

Equation de la droite (BC): y = -x + 1

Les perpendiculaires à (BC) ont pour équation y = x + k
Equation de (AH) : y = x

Les coordonnées de H se trouvent en résolvant le système:
y = -x + 1
y = x

--> H(1/2 ; 1/2)

vect(HI) = (0 ; -1/2)
vect(HJ) = (-1/2 ; 0)

vect(HI).vect(HJ) = 0*(-1/2) - (1/2)*0
vect(HI).vect(HJ) = 0

--> Les droites (HI) et (HJ) sont perpendiculaires.
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Sauf distraction.  

faut-il utiliser le thérorème d'al kashi pour la méthode 4 ?

HI = (2AH)/2 + (2HB)/2 - AB/2

HJ = (2HC)/2 + (2HA)/2 - CA/2

Je bloque après pour IJ!

Please, help me !

soit M le milieu de [BC]
(IM)//(AJ)et (JM)//(AI) theoreme des milieux
le quadrilatere AIMJ est alors un parallelogramme avec un angle droit en A il devient un rectangle
le cercle circonscrit au triangle AIJ passera aussi par M
dans le quadrilatere HAIM
angle H et angle I sont droits et opposes
donc HAIM est inscriptible
ce qui signifie que le cercle qui passe par cses trois sommets A,M et I passera aussi par H
ainsi H APPARTIENT AU CERCLE de diametre [JI]
donc IHJ=90

AHB rectangle en H et I milieu de l'hypotenuse donc  HI=1/2 AB
de meme pour HJ=1/2 AC
JI= 1/2 BC theoreme des milieux
HI^2+HJ^2=1/4(AB^2+AC^2)=1/4 BC^2=IJ^2