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Point double d'une courbe en polaire (très simple)
Salut à tous, on me demande de trouver le (ou les) points doubles de l'équation :
ρ(θ) = 2cosθ - cos(2θ)
Avec un aperçu à la calculatrice, il semble qu'il y ait trois point doubles.
J'ai commencé par dire que l'équation était paire, et donc que deux points doubles seraient symétriques par rapport à l'axe Ox. : L'intervalle d'étude peut être réduit à [0,
]
Ensuite, j'ai calculé :
ρ(θ+]) = - ρ(θ)
J'aboutis à l'équation : cos(2θ) = 0
Et donc soit θ = /4, soit θ = 3pi/4
Mais il ne semble que ça ne soit pas ça, après vérification à la calculatrice... Et dans tous les cas, il me manque toujours un point double.
Un peu d'aide serait donc la bienvenue, je suppose que l'exo peut se plier en deux minutes les yeux bandés pour un habitué. ^^
bonsoir...
qu'appelle-t-on point double ?
un point où la courbe passe 2 fois ou un point où le vecteur dérivé est nul ou autre chose ?
ρ(θ) = 2cosθ - cos(2θ)
un point où la courbe passe 2 fois:
1. même argument et module égal.
2. argument et modules différents
voila la courbe (0,0) semble point double
il faut résoudre ρ(θ) = 2cosθ - cos(2θ) = 0
2 cos t = cos (2t)
2 cos²t -1 = 2 cos t
équation du second degré avec 2 racines distinctes...
2 X²-2X-1 = 0
ou (4 X²-4 X +1) -3 = 0
etc.....
Rho(Pi+theta) = 2cos(pi + theta) - cos(2Pi+2theta)
Rho(Pi+theta) = -2cos(theta) - cos(2theta)
Rho(Pi+theta) = -Rho(theta) si : -2cos(theta) - cos(2theta) = -2cos(theta) + cos(2theta)
--> pour cos(2.theta) = 0
--> pour 2.theta = Pi/2 + 2k.Pi et 2.theta = 3Pi/2 + 2k.Pi
theta = Pi/4 + k.Pi et theta = 3Pi/4 + k.Pi
Donc pour theta dans [0 ; 2Pi[ -->
theta = pi/4 , 3Pi/4 , 5Pi/4 et 7Pi/4
a)
theta = Pi/4
Rho = 2.cos(Pi/4) - cos(Pi/2) = V2
b)
theta = 3Pi/4
Rho = 2.cos(3Pi/4) - cos(3Pi/2) = -V2
c)
theta = 5Pi/4
Rho = 2.cos(5Pi/4) - cos(5Pi/2) = -V2 (même point que le cas a)
d)
theta = 7Pi/4
Rho = 2.cos(7Pi/4) - cos(7Pi/2) = V2 (même point que le cas b)
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Il reste le cas possible de points multiples à l'origine (Rho = 0).
Rho(theta) = 2cos(theta) - cos(2.theta) = 0
2cos(theta) - 2cos²(theta) + 1 = 0
2cos²(theta) - 2.cos(theta) - 1 = 0
cos(theta) = (1 +/- V3)/2
--> seul convient cos(theta) = (1 - V3)/2
Soit theta = arcos((1 - V3)/2) et theta = 2.Pi - arcos((1 - V3)/2)
Il a donc 2 valeurs de alpha dans [0 ; 2Pi[ pour lesquels Rho = 0 --> c'est aussi un point double.
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Il y a donc 3 points doubles, soit en ccordonnées polaires :
a) (Pi/4 ; V2) et (5Pi/4 ; -V2)
b) (3Pi/4 ; -V2) et (7Pi/4 ; V2)
c) (arcos((1 - V3)/2) ; 0) et (2.Pi - arcos((1 - V3)/2) ; 0)
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Sauf distraction. 
Merci énormément de votre aide à vous deux, vraiment, ça me parait bien plus clair maintenant.
Seulement, il n'y a pas un moyen de prouver que le point origine est solution ? Car là, c'est juste un test qui est fait... L'égalité ρ(θ+) = - ρ(θ) ne peut-elle pas directement permettre de montrer l'existence du point double pour (arcos((1 - V3)/2) ; 0) et (2.Pi - arcos((1 - V3)/2) ; 0) ?
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