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Point fixe
Bonjour ! Voici un petit exercice qui me pose problème.
Merci d'avance de votre aide !
L'énoncé :
Soit g une fonction définie sur un segment [m;n] à valeurs dans [m;n].
On suppose que pour tout couple (x,y) de [m;n]², x 
y 
| g(x) - g(y) | < | x - y |
Montrer que g admet un unique point fixe sur [m;n].
On pourra utiliser la fonction h : x 
| g(x) - x |.
Salut 
L'unicité est triviale ici, on passe directement à l'existence.
h est continue sur un compact donc elle atteint sa borne inf en x0 disons. On suppose alors que h(x0) est non nul.
Essaie de trouver une contradiction en considérant par exemple x=g(x0) et y=x0...
Salut Schumi.
Etant donné que g n'est pas nécessairement continue, h est-elle vraiment continue ?...
Dacodac. Et si jamais je montre qu'une fonction g définie sur [m;n] et à valeurs dans [m;n] admet un point fixe, j'ai plus qu'à montrer l'unicité non ?
Ben en fait le vrai résultat c'est quand on a une fonction qui vérifie |g(x)-g(y)|<|x-y| sur un compact (et pas seulement sur un segment). On ne peut plus utiliser le théorème des valeurs intermédiaires dans ce cas et c'est pour ça qu'on invoque h. Ce qui est assez naturel finalement dans le cas quelconque, mais effectivement il y a ici moyen de s'en passer.
Fais les deux démos, ça mange pas de pain. 
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