Bonjour

Evidemment qu'elle n'a pas de point fixe!

Bonjour.

Et bien, résout l'équation . Tu verras qu'il n'y a pas de solution, et que pour appliquer le théorème de Picard, il est nécessaire que l'application soit contractante, ie lipschitzienne avec une constante strictement inférieure à 1.
Ton exercice est donc un contre exemple, il ne suffit pas d'avoir une application 1-lipschitzienne, même avec une inégalité stricte, pour avoir un point fixe.

Pour des applications de Picard, on a en calcul différentiel le théorème d'inversion locale et le théorème de Cauchy-Lipschitz qui utilise ce théorème de point fixe dans leurs démonstrations.
En analyse hilbertienne, on a les théorèmes de Lax-Milgram et Stampacchia.

Les méthodes numériques, comme la méthode de Newton, utilise aussi ce théorème, qui fournit en prime une méthode pour approcher le point fixe, avec une majoration de l'erreur.

Bonjour Camélia.

Bonjour Arkhnor

Merci beaucoup à vous deux!

Cependant si on considère la fonction cosinus de R dans R qui est complet: elle n'est pas contractante puisque sa dérivée atteint 1 et pourtant elle a n'a qu'un point fixe sur R non??? Donc une application peut ne pas être contractante mais admette un unique point fixe?

Oui, bien sur, il n'y a aucune réciproque; l'existence ou le nombre des points fixes ne dit rien sur la fonction!

D'accord me voila rassuré! Merci!