Niveau Maths sup

Point multiple d'une courbe paramétrée.

Posté par
Chrysler 14-12-08 à 16:44

Bonjour à tous.

Oui, mon prof de maths est déprimant, oh que oui, je suis nul dans cette matière.
J'ai étudié une courbe paramétrée de composante :

x(t) = (t²-4)/(t+1) et y(t) = (1-4t²)/t(t+1)

On trouve un seul point multiple, sur la courbe.

Dans la question suivante on me demande de chercher celui-ci.
J'ai donc fait le système x(t) = x(t') et y(t) = y(t') avec t =/= t'
J'ai essayé de factoriser par ( t - t' ), mais pas moyen d'isoler ce terme.

Pourriez-vous m'aider s'il vous plait.

Merci d'avance, je l'espère.

Posté par re : Point multiple d'une courbe paramétrée. 14-12-08 à 17:38

Bonjour,

En principe, tu dois tomber sur le système:

$\{(t-t')(t+t'+tt'+4)=0\\(t-t')(t+t'+4tt'+1)=0$

En posant $S=t+t'$ et $P=tt'$ :

$\{S+P+4=0\\S+4P+1=0$

${S=-5\\P=1$

qui donne $t=\frac{-5+\sqrt{21}}{2}$ et $t'=\frac{-5-\sqrt{21}}{2}$

ce qui correspond au point double $A(-5,-5)$

Posté par re : Point multiple d'une courbe paramétrée. 14-12-08 à 17:49

Merci beaucoup de votre réponse.

Pourriez-vous s'il vous plait m'indiquer comment vous avez réussi à factoriser par ( t - t' ) ? Le dénominateur de la fraction me bloque à chaque fois.

Posté par re : Point multiple d'une courbe paramétrée. 14-12-08 à 18:13

C' est assez pénible à écrire, mais on a quelque chose de la forme:

$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$

$AD-BC=0$

On développe tout et la factorisation par $t-t'$ est assez "naturelle"...

Il doit y avoir plus immédiat:

On s' aperçoit que pour $t\not=0$ et $t\not=-1$ :

$\{x(\frac{1}{t})=y(t)\\y(\frac{1}{t})=x(t)$

Donc symétrie par rapport à la première bissectrice.

On peut donc supposer que le point en question est sur la première bissectrice.

Donc que $t$ et $t'$ sont solution de $x(t)=y(t)$

soit: $\frac{t^2-4}{t+1}=\frac{1-4t^2}{t(t+1)}$

$t^3+4t^2-4t-1=0$

$(t-1)(t^2+5t+1)=0$

Posté par re : Point multiple d'une courbe paramétrée. 14-12-08 à 18:17

Je vous remercie beaucoup !

Je vais certainement marquer la seconde méthode ( que j'aurais eu bien du mal à trouver seul ), mais tout de même vérifier la première, juste pour m'entrainer...

Etrange car pour cette première j'avais justement essayé AD - BC = 0 mais la factorisation ne me sautait pas aux yeux non plus, loin de là... !

Enfin encore une fois, merci beaucoup, et bonne soirée à vous.

Posté par re : Point multiple d'une courbe paramétrée. 14-12-08 à 18:21

De rien $Chrysler$ et bonne soirée à toi...

Posté par re : Point multiple d'une courbe paramétrée. 15-12-08 à 12:49

Re,

Si tu repasses par ici:

Factorisation de $t-t'$ dans l' équation $x(t)=x(t')$ :

$(t'+1)(t^2-4)=(t+1)(t'^2-4)$

$t^2t'+t^2-4t'-4=tt'^2+t'^2-4t-4$

$t^2t'-tt'^2+t^2-t'^2+4(t-t')=0$

$tt'(t-t')+(t+t')(t-t')+4(t-t')=0$

$(t-t')(tt'+t+t'+4)=0$

Factorisation de $t-t'$ dans l' équation $y(t)=y(t')$ :

$t'(1-4t^2)(t'+1)=t(1-4t'^2)(t+1)$

$t'^2+t'-4t^2t'^2-4t^2t'=t^2+t-4t'^2t^2-4tt'^2$

$t^2-t'^2+t-t'-4tt'^2+4t^2t'=0$

$(t-t')(t+t')+t-t'+4tt'(t-t')=0$

$(t-t')(t+t'+4tt'+1)=0$

Autre chose pour l' autre solution:

Citation :
On trouve un seul point multiple, sur la courbe.

Dans la question suivante on me demande de chercher celui-ci.

Il faut tenir compte de cette hypothèse pour affirmer que le point multiple appartient à la première bissectrice.

Par exemple, dans le cas de 2 points multiples, on pourrait avoir ces deux points distincts et symétriques par rapport à la première bissectrice...

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