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Points doubles d'une équation paramétrique : x=cos3u et y =sin2u
Salut à vous, on me demande de trouver le(s) point(s) double(s) de l'équation paramétrique :
x = cos(3u)
y = sin(2u)
Donc, pour u1 et u2 différents, on a :
cos(3u1) = cos(3u2)
sin(2u1) = sin(2u2)
Et donc :
cos(u1) - sin(u1)*sin(2u1) = cos(u2) - sin(u2)*sin(2u2)
sin(2u1) = sin(2u2)
De fil en aiguille, j'arrive à l'égalité :
cos(u1) - cos(u2) = 2sin(u1)*(sin(u1) - sin(u2))
Mais de là, je ne vois pas du tout comment obtenir les points doubles... Un peu d'aide serait la bienvenue ! 
bonjour
cos3t=cos3u pour 3t=3u+2kpi ou 3t=-3u+2kpi soit t=u+2kpi/3 ou t=-u+2kpi/3
sin2t=sin2u pour 2t=2u+2k'pi ou 2t=pi-2u+2k'pi soit t=u+k'pi ou t=pi/2-u+k'pi
à toi de jouer sur les k et k' pour que ces systèmes soient vérifiés
sans oublier la période auparavant
Génial, merci beaucoup, je n'avais pas pensé à ça ! 
Par contre, pour la période, j'ai un peu de mal... Je sais qu'on peut limiter l'intervalle d'étude car il y a des symétries, mais pour le mettre en forme, je n'y arrive pas... Merci d'avance d'éclairer ma chandelle. ^^
Alors là, je ne vois pas du tout... Désolé, mais je suis très mauvais à ce niveau-là, c'est d'ailleurs au niveau de cette période de f que je bloque depuis le départ. 
il te faut trouver le nombre minimal de 2pi/3 pour faire un nombre minimal de pi
en prenant trois (2pi/3) tu obtiens deux (pi)
la période est alors 2pi
essaie de voir si tu peux restreindre l'intervalle d'étude
De restreindre l'intervalle d'étude. Ou alors je n'ai rien compris à l'intervalle d'étude à la base, ce qui est possible aussi.
x(-u) = x(u)
y(-u) = -y(u)
Il y a donc symétrie par rapport aux axes Ox et Oy. L'intervalle d'étude peut donc être réduit à [0;
/2], c'est ça ?
il me semble qu'on peut encore réduite l'intervalle d'étude
maintenant que l'on sait qu'on l'étudie sur 0;pi, que pourrait-on examiner en vue de réduire, encore, l'intervalle d'étude ?
(car y(-t) = -y(t) )
Et donc l'intervalle peut être réduit à [0, /2]
Seulement, pas de point double sur cet intervalle.
Bonjour, Pseudonyme
Tes posts de 13h00 et 13h03 sont faux. On ne peut rien déduire du résultat
y(-t)=-y(t)
si on ne sait rien sur x(-t).
Même si tu calculais x(-t), cela ne servirait à rien parce qu'on a un intervalle d'étude [O,].
De plus, "l'astuce" avait déjà été utilisée pour réduire l'intervalle d'étude de [-,] à [0,].
L'idée à laquelle pensait Rudi était la suivante. C'était de calculer x(-t) et y(-t) en fonction de x(t)et y(t) pour en déduire une nouvelle symétrie et une réduction de l'intervalle d'étude à [0,/2].
Pour en revenir au problème des points multiples: il faut se placer sur un intervalle où la courbe est entièrement décrite, et donc, on ne peut pas choisir [0,] ou [0,/2].
Il faut obligatoirement prendre un intervalle de longueur 2, par exemple [-,] ou [0,2]
D'accord, je comprends mieux pour l'intervalle, merci à toi. 
Mais pour les points multiples, par contre, je suis toujours bloqué ! J'ai bien compris ce qu'a voulu dire Rudi à propos des systèmes avec k et k' (4 systèmes qui devraient me permettre de trouver mes 7 points doubles !], mais je ne vois pas en quoi ça peut nous permettre justement de trouver les u et les t... Tout ce que j'arrive à avoir, c'est au mieux une condition de k et de k'...
Un mot d'explication, voir une démonstration pour au moins un des points doubles m'aiderait grandement... Merci d'avance !
D'ailleurs, la plupart de ces points doubles sont symétriques les uns par rapport aux autres... Il n'y aurait pas moyen de le montrer ?
Désolé d'être insistant, mais je ne comprends vraiment pas grand chose et j'aimerais grandement être débloqué. :s
Salut, on me demande de trouver les points doubles de l'équation :
x = cos(3u)
y = sin(2u)
Je ne vois pas comment faire... Un peu d'aide serait la bienvenue.
*** message déplacé ***
Je n'ai juste pas bien compris le coup des k et des k' à déterminer, en fait, et surtout comment déterminer u1 et u2 d'après ça...
*** message déplacé ***
revenons à f(pi-t) et f(t)
cos(3(pi-t)) = cos(3pi-3t) = cos(pi-3t) = -cos(3t)
sin(2(pi-t))= sin(2pi-2t) = sin(-2t) = -sin(2t)
M(pi-t) = symétrique par rapport à O de M(t)
autrement dit
on étudie sur 0;pi/2 pour obtenir un arc de courbe
on fait la symétrie de cet arc par rapport à O pour obtenir la variation du pi/2;pi
puis on fait la symétrie / Ox de ces 2 arcs pour obtenir toute la courbe sur la période complète
je ne pense pas m'être trompé
D'accord pour ça, merci.
Mais tu avais posté :
" cos3t=cos3u pour 3t=3u+2kpi ou 3t=-3u+2kpi soit t=u+2kpi/3 ou t=-u+2kpi/3
sin2t=sin2u pour 2t=2u+2k'pi ou 2t=pi-2u+2k'pi soit t=u+k'pi ou t=pi/2-u+k'pi
à toi de jouer sur les k et k' pour que ces systèmes soient vérifiés "
Ce que je n'ai pas compris, en fait... Pourrais-tu donner un exemple de u et de t que l'on peut trouver avec cette méthode, s'il te plait ? Merci encore de ton aide jusqu'à maintenant, en tout cas !
l'étude de l'arc de courbe entre 0 et pi/2, qui est dans le 1° et le 2° quadrant, montre qu'il n'y a pas de point double sur cet intervalle
la symétrie / O de cet arc crée un autre arc dans le 3° et 4° quadrant, donc il ne peut pas y avoir, non plus, de point double
rudy
Merci, mais en vérité, ce n'était pas ma question... Car tu m'as proposé une méthode pour trouver les points doubles par la calcul que je n'ai pas comprise :
"cos3t=cos3u pour 3t=3u+2kpi ou 3t=-3u+2kpi soit t=u+2kpi/3 ou t=-u+2kpi/3
sin2t=sin2u pour 2t=2u+2k'pi ou 2t=pi-2u+2k'pi soit t=u+k'pi ou t=pi/2-u+k'pi"
J'ai saisi le principe, mais je ne vois pas ce qu'on peut en tirer... Pourrais-tu me l'expliquer en l'illustrant par un exemple s'il te plait ?
Merci beaucoup en tout cas.
cos3t=cos3u pour 3t=3u+2kpi ou 3t=-3u+2kpi soit t=u+2kpi/3 ou t=-u+2kpi/3
sin2t=sin2u pour 2t=2u+2k'pi ou 2t=pi-2u+2k'pi soit t=u+k'pi ou t=pi/2-u+k'pi
t=u+2kpi/3=pi/2-u+k'pi
u=(3-4k+6k')pi/12 et t=(3+4k+6k')pi/12
pour 0<t<pi/2 et pi<u<3pi/2
0<3+4k+6k'<6 et 12<3-4k+6k'<18
deux seuls couples
k=-1 et k'=1
k=-2 et k'=1
t=5pi/12 et u=13pi/12
t=pi/12 et u=17pi/2
puis tu calcules les x et y de t et de u
-------------
t=-u+2kpi/3=u+k'pi
u=(2k-3k')pi/6 et t=(2k+3k')pi/6
pour 0<t<pi/2 et pi<u<3pi/2
0<2k+3k'<3 et 6<2k-3k'<9
deux seuls couples
k=2 et k'=-1
k=3 et k'=-1
t=pi/6 et u=7pi/6
t=pi/2 et u=3pi/2
puis tu calcules les x et y de t et de u
ici c'est l'origine que tu trouveras.
ensuite, par symétrie /Ox tu trouveras les autres points doubles
sauf erreur de raisonnement ou de calcul
rudy
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