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Polynome

Posté par
Gauss-Tn 01-11-08 à 23:53

Bonsoir  ,
On considère la  suite de polynome  à coefficient réels , définie  par  :

P_{0}=1 ; P_{1}=X; P_{n}=X P_{n-1}-(n-1)P_{n-2} n2.
1)a) Déterminer  pour  tout  n le  degré de
4$P_{n}
  b) Démontrer  par  réccurence que  pour  tous  n et x  ,P_{n}=(-1)^nP(x)
2/Démontrer  que  pour tout n\{0}
4$(P)_{n}^'=nP_{n-1}

j'ai  remarqué  que  le  P_{n} est degré  n mais  j'ai  pa  pu  le  montrer  ainsi que la  question de  récurrence  et  2/
merci  pour  votre  aide  d'avance

Posté par
Gauss-TnPolynome 01-11-08 à 23:58

Pour  la  question 1/a) c'est  P_n(-x)=(-1)^nP(x)

Posté par
pythamedere : Polynome 02-11-08 à 00:04

Citation :
j'ai  remarqué  que  le P_n  est degré  n mais  j'ai  pa  pu  le  montrer  

Justement, par récurrence, c'est facile !
Suppose que P_k est de degré k pour tout k < n :
Alors, X P_{n-1} est de degré n et (n-1)P_{n-2} de degré n-2. La somme est alors de degré n !
Citation :
b) Démontrer  par  réccurence que  pour  tous  n  et x  ,P_n=(-1)^n P(x)


C'est quoi P(X) ?
Citation :
et  2


Par récurrence aussi, c'est facile !

Posté par
Gauss-TnPolynome 02-11-08 à 00:20

peut  etre  que  j'ai  pas  bien compris  les  notations  ,  c'est  quoi  P(X) ?

Posté par
pythamedere : Polynome 02-11-08 à 01:20

Pardon, c'est moi qui t'ai posé la question : Tu as écrit (le 01/11 à 23h53) :

Citation :
b) Démontrer  par  réccurence que  pour  tous  n  et x  , P_n=(-1)^nP(x)



Et le 02/11 à 0h04 je t'ai demandé ce qu'est P(x) !

C'est moi qui ai posé la question, c'est donc à toi de répondre, non ?

Posté par
Gauss-TnPolynome 02-11-08 à 10:23

Bonjour ,
oui j'ai  corrigé  la  faute  dans( le 01-11-08 à 23:58) , c'est  l'énnoncé  de  l'exercice  il est écrit comme ça  ,

Posté par
pythamedere : Polynome 02-11-08 à 12:27

Oui, alors qu'est-ce qu'on fait ? Je ne comprends toujours pas la question 1b !!!!! Je ne peux donc t'aider à répondre !

Posté par
Gauss-TnPolynome 02-11-08 à 13:15

en tous  cas  merci  pour  votre  , ( mais  c'est l'énnoncé  de  l'exercice  qui est  écrit  comme  ça )

Posté par
freniclere : Polynome 02-11-08 à 14:58

Bonjour

A mon avis, P(X) c'est Pn(X)
Les premiers Pn sont :
1
X
X2 - 1
X3 - 3X
X4 - 6X2 + 3
X5 - 10X3 + 15X

Cordialement
Frenicle

Posté par
pythamedere : Polynome 02-11-08 à 16:04

Citation :
A mon avis, P(X) c'est Pn(X)

C'est effectivement la première idée qui vient à l'esprit, mais si c'était ça, cela voudrait dire qu'on demande de montrer que P_n=(-1)^n P_n(x) Et malheureusement cela n'a aucun sens ! A gauche on a une fonction polynôme, à droite un réel, image de x par cette fonction. Je veux bien que l'on ne chipote pas à ce point, mais alors, il faudrait ré-écrire : P_n(x)=(-1)^n P_n(x), ce qui est franchement faux pour tous les n impairs (sauf pour les x qui sont racines de P_n) !!!!

En tous cas, cela n'empêche pas de faire la question suivante !

Gauss-Tn que penses-tu de la question suivante ?

Posté par
freniclere : Polynome 02-11-08 à 17:22

Citation :
Pn(x)=(-1)n Pn(x), ce qui est franchement faux pour tous les n impairs (sauf pour les x qui sont racines de P_n) !!!!


Pourquoi ?

P3(x) = x3 - 3x

P3(-x) = (-x)3 - 3(-x) = -(x3 - 3x) = -P3(x), non ?

Posté par
freniclere : Polynome 02-11-08 à 17:26

En fait les Pn sont des fonctions paires si n est pair et impaires dans le cas contraire.

Posté par
Gauss-TnPolynome 02-11-08 à 23:49

bonsoir  , c'est  le  degré de  P(x) il  ya  pa  d'information dans l'énnoncé sur  P(x)

Posté par
pythamedere : Polynome 02-11-08 à 23:57

Pourquoi ?

P3(x) = x3 - 3x

P3(-x) = (-x)3 - 3(-x) = -(x3 - 3x) = -P3(x), non ?


Il n'est pas question de montrer que Pn(-x)=(-1)nPn(x), il est au contraire question de montrer que Pn(x)=(-1)nPn(x)

Ou alors mon écran de PC supprime parfois des signes "-" !

Posté par
Gauss-TnPolynome 03-11-08 à 00:08

le  sujet  de (le 01-11-08 à 23:58)
( Pn de  moin x égale  à  -1 exposant n multiplié  par  p(x))

Posté par
Gauss-TnPolynome 03-11-08 à 00:10

4$P_n(-x)=(-1)^nP(x)

Posté par
pythamedere : Polynome 03-11-08 à 01:19

Ca va ! J'ai enfin compris : je n'avais pas vu la correction !

Donc, cela revient à montrer que les P_{2k} sont pairs et les P_{2k+1} sont impairs. Par récurrence, c'est pas difficile !

Posté par
pythamedere : Polynome 03-11-08 à 01:20

Euh, d'ailleurs, frenicle l'avait dit il y a longtemps !


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