Salut,

je crois que tu n'as pas bien compris ce qu'on te demande ...

1.
pr tt f ds E, u(f) ds E.
Par hypothèse, u(f) appartient à l'ensemble des fonctions de [0,1] ds R,
tu dois juste montrer que la fonction u(f) est continue (par rapport à t) (facile)

2.
u est un endo continue de E, donc tu dois mq :
u est linéaire (par rapport à f) (facile)
u continue cad |u(f)| <= K|f|, pr tt f ds E

++

d'accord, merci beaucoup de ton aide, c'est très gentil.

1. K(x,t) est continue quelque soit t de [0;1] car c'est un polynome. f appartient a E donc est continue. Et enfin l'integrale reste continue car l'intégrande est continue.


2. en effey l'intégrale d'une somme est la somme des intégrales.

Pour montrer |u(f)(t)| ≤ p|f(t)|

|u(f)(t)| =  |K(x,t)f(x) dx|  ≤ |K(x,t)|*|f(x)| dx  ...

ensuite je ne vois pas.

alors,

|u(f)|² = < u(f), u(f)> = [u(f)(t)]² dt = [K(x,t)f(x)dx]²dt

Je te laisse finir en majorant brutalement ton polynôme ...

++

Merci beaucoup, cependant je ne vois pas très bien comment majorer mon polynome.

On a K(x,t) = K(t,x) quelque que soit t de [0;1]

Mais rien ne me dit qu'il a un maximum.

[0,1]X[0,1] n'est-il pas compact ?
K n'est-il pas continue ?

si tout a fait. je suis vraiment désolé, en ce moment je plane un peu.

Donc K(x,t) est bornée et atteint ses bornes. soit k son maximum on a :



|u(f)|² = < u(f), u(f)> = [u(f)(t)]² dt = [K(x,t)f(x)dx]²dt ≤  [k*f(x)dx]²dt ≤ [k²dx*f²(x)dx]dt

on a alors ... = k²[f²(x)dx]dt

Mais je vois pas comment terminer;

Que vaut <f,f> ?

<f,f> = f²(t)dt non ?

c'est la deuxième intégrale qui me  gène un peu...

oui donc <f,f> = |f|² = f²(x)dx

On a donc |u(f)|² ≤ k²|f|²  

que fait cette intégrale en plein milieu ?

En fait, je crois que mes notations t'ont induit en erreur,

tu as ||u(f)|| <= k²||f||²dt,

la valeur de ||f|| dépend-elle de t ?

oui d'accord, en effet. la je comrpend mieux. =)

on a donc |u(f)| ≤ k |f|.  Comme u est linéaire, il y a continuité.

Merci beaucoup pour ton aide.


Je dois ensuite montrer que u est symétrique et que Im(u) est de dimension finie contenue dans IR[X]


u est symétrique c'est a dire : <u(f)(t),g(t)> = <f(t),u(g)(t)>

<u(f)(t),g(t)> =   u(f)(t)*g(t) dt = [K(x,t)f(x)dx * g(x)dx] dt

je ne vois pas comment échanger f et g   merci de votre aide!

Un ptit coup de Fubini et on utilise les propriétés sur notre polynôme K

Par contre j'avais pas fais gaffe mais t'as dernière égalité c'est un peu ... n'importe quoi !!!

oui c'est exact, on a ... =  [K(x,t)f(x)dx * g(t)] dt est ce exact ?

Pour Fubini, je n'ai pas fait le cours sur le calcul intégrale l'année dernière, je suppose que c'est un théroème un peu comme celui sur les séries entières qui permet d'échanger deux itntégrales.

Cependant je ne le connait pas, j'ai fait une recherche sur wikipédia, mais c'est un compliqué.

Merci de votre aide.

Oui en gros, quand "tout est fini",  tu peux intervertir tes intégrales,

<u(f)(t),g(t)> = [K(x,t)f(x)dx * g(t)]dt = [K(x,t)f(x)*g(t)dt]dx = f(x)[K(x,t)g(t)dt]dx or K(x,t) = K(t,x) donc ...

... = f(t) [K(x,t)g(x)dx] dt = <f(t),u(g)(t)>


est ce correct ?

Un peu rapide ...
tu dois bien te servir que K est un polynôme symétrique

<u(f),g> = f(x)[K(x,t)g(t)dt]dx = f(x)[K(t,x)g(t)dt]dx = f(x)u(g)(x)dx =  < f, u(g) >

et pardon c'est <u(f),g> et non <u(f)(t),g(t)>

Oui désolé.

quelque que soit t appartenant a [0;1] ca revient au même non ?


Comment montrer que l'image de u est de dimension finie et est inclu dans IR[X]