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Polynôme, avec taylor

Posté par
H_aldnoer 03-09-09 à 21:42

Bonsoir,

j'ai un petit souci sur un exercice. On pose \Large Q(x)=\frac{x^n}{n!}P(x) où P est un polynôme de degré p à coefficients dans \Large \mathbb{Z}. Je cherche la dérivée k-ième et je trouve \Large Q^{(k)}(x)=\Bigsum_{j=0}^k\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\frac{x^{n-j+1}}{(n-j+1)!}P^j(x). J'en déduis donc que \Large Q^{(k)}(0)=0 quelque soit k.

Dans le corrigé, on me propose de poser \Large P(x)=\Bigsum_{j=0}^pa_jx^j avec \Large a_j\in\mathbb{Z}. Alors on a \Large Q(x)=\Bigsum_{j=0}^p\frac{a_j}{n!}x^{j+n}=\Bigsum_{j=0}^{n+p}\frac{a_{j-n}}{n!}x^j. Puis en utilisant Taylor avec reste intégral, on trouve aussi \Large Q(x)=\Bigsum_{j=0}^{n+p}\frac{Q^{(j)}(0)}{j!}x^j et en identifiant, on trouve alors \Large Q^{(j)}(0)=a_{j-n}\frac{n!}{j!}.

Ou est l'erreur
Merci

Posté par
bill159re : Polynôme, avec taylor 03-09-09 à 21:57

Niveau Licence première année ou plus?

(désolé pour le hors sujet....mais je stresse à l''approche de la rentrée universitaire....)

Posté par
H_aldnoerre : Polynôme, avec taylor 03-09-09 à 22:04

Regarde mon profil ...
Ceci dit, c'est accessible niveau Deug.

Posté par
girdavre : Polynôme, avec taylor 03-09-09 à 22:18

Bonjour

Citation :
\Large Q^{(k)}(x)=\Bigsum_{j=0}^k\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\frac{x^{n-j+1}}{(n-j+1)!}P^j(x)

On utilise la formule de Leibniz?
Dans ce cas on doit avoir la dérivée \Large Q^{(k)}(x)=\Bigsum_{j=0}^k\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\frac{\partial^{k-j}}{\partial x^{k-j}}\(x^n\)P^j(x)

Posté par
H_aldnoerre : Polynôme, avec taylor 03-09-09 à 22:22

Oui, je me suis trompé, j'ai fait de mémoire. C'est bien \Large%20Q^{(k)}(x)=\Bigsum_{j=0}^k\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\frac{x^{n-k+j}}{(n-k+j)!}P^j(x). Mais ça ne change rien, si

Posté par
girdavre : Polynôme, avec taylor 03-09-09 à 22:28

Je crois qu'il y a du C^j_k au lieu de C^k_n. Et il faut regarder si n-k+jrisque de s'annuler ou de devenir négatif ou pas.

Posté par
H_aldnoerre : Polynôme, avec taylor 03-09-09 à 22:31

Oui, aussi, décidément!
\Large%20Q^{(k)}(x)=\Bigsum_{j=0}^k\begin{pmatrix}n\\j\end{pmatrix}\frac{x^{n-k+j}}{(n-k+j)!}P^j(x)

C'est ce que je me suis dit aussi, admettons que n-k+j<0 ie j<k-n, alors la puissance de x deviens négative. Que faire dans ce cas ?

Posté par
perroquetre : Polynôme, avec taylor 03-09-09 à 22:34

Bonjour, H_aldnoer

Le terme correspondant à j=k-n dans ton égalité ne s'annule pas pour x=0.
Attention, il y a de nombreuses fautes dans cette égalité, qu'il faudra reprendre très soigneusement si tu veux vérifier que ta solution et celle du corrigé sont "compatibles"

Posté par
Rodrigore : Polynôme, avec taylor 03-09-09 à 22:39

Bonjour,
Faut que tu fasses attention quand tu dérives le terme en x, ben il faut discuter en fonction de n, k et j.
LE terme peut etre nul tout court, s'annuler pour x=0, mais aussi faire 1 quand n-k+j=0.
C'est un peu casse pied comme calcul.

Posté par
H_aldnoerre : Polynôme, avec taylor 03-09-09 à 22:45

Bonsoir perroquet, finalement est-ce bien \Large%20Q^{(k)}(x)=\Bigsum_{j=0}^k\begin{pmatrix}n\\j\end{pmatrix}\frac{x^{n-k+j}}{(n-k+j)!}P^\{(j)}(x) ?

Posté par
H_aldnoerre : Polynôme, avec taylor 03-09-09 à 22:47

Ok Rodrigo.
Merci

Posté par
perroquetre : Polynôme, avec taylor 03-09-09 à 23:20

3$ Q^{(k)}(x)=\sum_{j=max(0,k-n)}^{k} {k \choose j} \frac{1}{(n-k+j)!}x^{n-k+j} P^{(j)}(x)

Et il me parait plus judicieux d'écrire:

3$ Q^{(k)}(x)=\sum_{j=0}^{max(k,n)} {k \choose j}\frac{1}{(n-j)!}x^{n-j}P^{k-j}(x)

Ce qui permet d'affirmer que
pour k<n   Q^{(k)}(0)=0
pour n\leq k \leq n+p   Q^{(k)}(0)={k\choose n}P^{(k-n)}(0)
Pour  k>n+p   Q^{(k)}(0)=0

Posté par
bill159re : Polynôme, avec taylor 03-09-09 à 23:51

donc capes c'est 3ème année si j'ai bien compris?

Posté par
mouss33re : Polynôme, avec taylor 04-09-09 à 09:11

non c'est un concours que tu peux passé dès que tu as obtenu ta licence. Donc c'est bac+4.

Ce ne serait pas le début du sujet de 2005 ça?!

Posté par
robby3re : Polynôme, avec taylor 04-09-09 à 11:04

Citation :
Ce ne serait pas le début du sujet de 2005 ça?!

si si!!
toi-même tu sais!


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