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Polynôme complexe

Posté par
gui_tou 18-01-09 à 21:01

Bonsoir,

Une petite question d'un DM, je ne trouve pas ma solution élégante, j'imagine qu'il y a plus zoli.

Citation :
Soient 3$k\in\mathbb{N}^* et 3$c_k un nombre complexe non nul. Soit 3$z_0\in\mathbb{C}. On considère le polynôme 3$Q(X)=1+c_k(X-z_0)^k.

Montrer qu'il existe 3$z\in\mathbb{C} tel que 3$\|Q(z)\|>\|Q(z_0)\|. [On pourra considérer le module et l'argument de 3$c_k et de 3$z-z_0]


Il suffit donc de trouver un complexe z tel que 3$\|Q(z)\|>1.

J'écris les complexes sous forme exponentielle : 3$c_k=\rho_ce^{i\theta_c , 3$z-z_0=\rho e^{i\theta   (je choisis 3$(\theta_c,\theta)\in]-\pi,\pi[^2

Ainsi, 3$Q(z)\ =\ 1+\rho_ce^{i\theta_c}\times\(\rho^ke^{ik\theta}\)\ =\ 1\ +\ \rho_c\rho^ke^{i(k\theta+\theta_c)}

et  3$\|Q(z)\|\ =\ \sqrt{\(1+\rho_c\rho^k\cos(k\theta+\theta_c)\)^2+\rho_c^2\rho^{2k}\sin^2(k\theta+\theta_c)}

Pour avoir 3$\|Q(z)\|\ >\ 1 il suffit donc d'avoir 3$\cos(k\theta+\theta_c)>0  ie  3$k\theta+\theta_c\in]-\fr{\pi}{2},\fr{\pi}{2}[ soit encore : 3$\red\fbox{\theta\in\]\ -\fr1k\(\fr{\pi}{2}+\theta_c\)\ ,\ \fr1k\(\fr{\pi}{2}-\theta_c\)\ [\subset]-\pi,\pi[

Vu qu'on peut choisir 3$z_0, on peut choisir 3$\theta pour que ça marche.

Comme vous le voyez, c'est médiocre je trouve.

Auriez-vous une idée plus simple ?

Merci

Posté par
Fullermanre : Polynôme complexe 18-01-09 à 21:08

Non, non, c'est correct.

Posté par
gui_toure : Polynôme complexe 18-01-09 à 21:30

Salut,

Oki merci

Et merci Ayoub, 3$z=z_0+e^{-i\theta_c/k convient effectivement très bien

Posté par
1 Schumi 1re : Polynôme complexe 18-01-09 à 21:37

Mais, ya pas de quoi mon 'ti Guillaume, all my pleasure.

Posté par
Arkhnorre : Polynôme complexe 19-01-09 à 17:46

Salut.

Préliminaire pour une preuve de d'Alembert-Gauss ?

Posté par
1 Schumi 1re : Polynôme complexe 19-01-09 à 17:49

Ah tiens, j'ai eu la même réaction en regardant la toute première fois ce topic... Comme quoi...

Posté par
gui_toure : Polynôme complexe 21-01-09 à 19:06

Hello

Citation :
Préliminaire pour une preuve de d'Alembert-Gauss ?


Ah je ne crois pas, désolé ^^

C'est une question d'un sujet de l'X (en PC j'imagine) : Polynômes unitaires de norme minimale.

La première partie parle de poynômes façon Lagrange, la deuxième des questions de norme & borne sup, et la suite c'est un mélange des deux !

Je vous en dirai plus lundi prochain probablement.

En attendant, faudrait que je m'y replonge dans ce DM (c'est qu'on y prend goût à la chimie organique !)

Posté par
1 Schumi 1re : Polynôme complexe 21-01-09 à 20:36

Traître!!!

Posté par
gui_toure : Polynôme complexe 22-01-09 à 20:38

Jaloux

Posté par
gui_toure : Polynôme complexe 27-01-09 à 18:25

C'est X PC 2004.


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