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polynome d'hermite

Posté par
ragnax 25-01-09 à 15:23

Bonjour
On munit R[X] du produit scalaire suivant :
<P,Q>= \int_{-\infty}^{\infty} P(t)Q(t)exp(-t²)dt
a) Etablir, pour tout entier naturel n, l'existence et l'unicité d'un polynome Hn tq pour tout xR, \frac{d^n}{dx^n}exp(-x²)=(-1)^n Hn(x)exp(-x²)
On exprimera Hn+1(X) en fonction de n,X et Hn(X)

Pour cela, je fais une récurrence et je trouve Hn+1(x)=Hn'(x)-2xHn(x)

b)Préciser la parité, le degré et le coefficient dominant de Hn
Pour la parité, je ne sais pas par ou partir
Pour le degré, je trouve n et pour le coefficient dominant : -2

c)Montrer que <Hn(X),X^k>=0 si 0k<n ou si k=n+1
puis calculer <Hn(X),X^n>
Etablir que la famille de polynome (Hn) est orthogonale, et préciser ||Hn||

<Hn(X),X^k>=\int_{-\infty}^{\infty} Hn(t) t^k exp(-t²)dt
et après j'ai pensé à une intégration par partie mais je ne sais pas quoi prendre pour u(t) et v'(t)

Merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteurre : polynome d'hermite 25-01-09 à 15:37

Bonjour

Donc H_0(x)=1 (polynôme pair) et H_1(x)=2x (polynôme impair).

\((-1)^nH_n(x)e^{-x^2}\)^'=(-1)^n(H'_n(x)-2xH_n(x))e^{-x^2}=(-1)^{n+1}(2xH_n(x)-H'_n(x))e^{-x^2} donc

H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H'_n(x)

Montre que la parité change à chaque augmentation de n. Donc H_{2k} est pair et H_{2k+1} est impair.

Moi, je dirais que le coefficient dominant de H_n est 2^n

Pour c), il y a du boulot!
Regarde d'abord ce aui se passe pour H_1 et essaye de lancer une récurrence sur n.

Posté par
ragnaxre : polynome d'hermite 25-01-09 à 22:00

Bonsoir,
Pour c), j'ai regardé ce qui se passe pour H1 :
avec une intégration par partie, je trouve <H_1,X^k>=\frac{-1}{k+2}<H_1,X^{k+2}>
Mais je ne vois pas du tout comment ca peut faire 0

Posté par
ragnaxre : polynome d'hermite 26-01-09 à 01:23

up, s'il vous plait

Posté par
lafol Moderateurre : polynome d'hermite 26-01-09 à 11:27

Bonjour
avec H1, seuls X^0 et X² sont à envisager (k dans [0,n[ ou k = n+1 ....ici n = 1)

Posté par
ragnaxre : polynome d'hermite 27-01-09 à 02:03

Bonsoir, effectivement pour n=1 ca marche merci
Pour la récurrence sur n, je pose Pn : <H_n(X),X^k>=0 si 0k<n ou si k=n+1
On suppose pour n fixé que Pn est vrai.
<H_{n+1}(X),X^k>= \int_{-\infty}^{\infty} H_{n+1}(t)t^kexp(-t^2)dt
or H_{n+1}(t)=-Hn'(t)+2tHn(t)
donc en faisant une IPP sur le premier terme avec
u(t)=t^kexp(-t^2) v'(t)=Hn'(t)
u'(t)=kt^{k-1}exp(-t^2)+t^k(-2t)exp(-t^2) et v(t)=Hn(t)
On a  <H_{n+1}(X),X^k>=\int_{-\infty}^{\infty} kt^{k-1} exp(-t^2)Hn(t)dt
Et la suis bloqué, je ne vois pas comment on peut utiliser l'hypothése de recurrence et puis si on fait une intégration par partie, on va tourner en rond.

Posté par
lafol Moderateurre : polynome d'hermite 27-01-09 à 11:47

tu reconnais k< H_n|X^{k-1}>, ton hypothèse de réc s'applique, non ?

Posté par
ragnaxre : polynome d'hermite 28-01-09 à 01:57

Bonsoir, effectivement mon hypothèse de récurrence qui est <Hn,X^k> pour 0k<n, le "k-1" me perturbait, mais en fait k-1[0,n-1], donc c'est égale à 0.
La récurrence est donc établis

Ensuite pour le calcul de <Hn(X),X^n>, l'idée est-il de remplacer Hn(t) par cette formule : H_{n+1}(t)=-Hn'(t)+2tHn(t) et de faire une IPP?

Merci pour vos réponses ^^

Posté par
ragnaxre : polynome d'hermite 29-01-09 à 01:04

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