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Polynôme de Bernstein

Posté par
Leonegres
26-12-12 à 17:53

Bonsoir,

Je suis en train dé'essayer de comprendre une démonstration, et j'i un petit blocage.

Voilà, j'ai comme polynôme de Berstein : B_{n,k}=C_n^kx^k(1-x)^{n-k}

Je voudrais savoir dans quelle mesure on a :

\Sigma_{k=2}^nk(k-1)B_{n,k}=\Sigma_{k=0}^nk(k-1)B_{n,k}

Merci

Posté par
gui_tou
re : Polynôme de Bernstein 26-12-12 à 17:54

Salut

Parce que quand on fait k=0 ou k=1 alors k(k-1) est nul, donc autant faire commencer la somme avec le premier terme non nul à savoir k=2

Posté par
Camélia Correcteur
re : Polynôme de Bernstein 26-12-12 à 17:55

Bonjour

Comme pour k=0 et pour k=1 on a k(k-1)=0, tu ne changes rien en ajoutant deux termes nuls à la première somme!

Posté par
Camélia Correcteur
re : Polynôme de Bernstein 26-12-12 à 17:56

Salut gui_tou tu t'ennuyes en vacances?

Posté par
Leonegres
re : Polynôme de Bernstein 26-12-12 à 17:57

Je te remercie Guitou,

Mais là en l'occurence ce serait dans "le sens inverse".

On est en k=0, et on passe en k=0, mais l'indice n lui ne change pas.

Posté par
gui_tou
re : Polynôme de Bernstein 26-12-12 à 17:58

Salut Camélia, et oui, je fais ma BA de fin d'année en retournant un peu sur l'île!

Posté par
Leonegres
re : Polynôme de Bernstein 26-12-12 à 18:00

Ah ça y est, ok !!!!

Merci à tous les 2.

Posté par
Leonegres
re : Polynôme de Bernstein 26-12-12 à 18:08

Pour ma gouverne, quelle est la différence entre les polynôme de Bernstein (que je suis en train de voir) et les polynômes d'interpolation de Lagrange (que je n'ai jamais vus) ?

Merci

Posté par
Camélia Correcteur
re : Polynôme de Bernstein 26-12-12 à 18:10

Ca n'a rien à voir! Ils ne servent pas à la même chose!

Posté par
Leonegres
re : Polynôme de Bernstein 26-12-12 à 18:12

Ah ...

Et y'a t-il aussi une approximation des fonctions par des polynômes ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Polynôme de Bernstein 26-12-12 à 18:27

Là aussi ça dépend de ce qu'on veut... Un polynôme de Lagrange est un polynôme de degré n qui coïncide avec la fonction en n points. Mais si on augmente le nombre de points ça ne converge pas forcément uniformément, quoique ça diffère peu...

Posté par
Leonegres
re : Polynôme de Bernstein 26-12-12 à 18:30

Je te remercie.

Posté par
Leonegres
re : Polynôme de Bernstein 26-12-12 à 18:31

Dis-moi Camelia,

y'a t-il un quelconque lien entre convergence uniforme et continuité uniforme ?

Posté par
GaBuZoMeu
re : Polynôme de Bernstein 26-12-12 à 18:31

Salut Camelia,

Pourquoi dis-tu que ça ne converge pas uniformément ? (en interpolant une fonction continue sur [a,b] fixé, avec des points uniformément répartis).

Posté par
Leonegres
re : Polynôme de Bernstein 26-12-12 à 18:32

.... ou plutôt entre non contiuité uniforme et non convergence uniforme ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Polynôme de Bernstein 26-12-12 à 18:39

Salut GaBuZoMeu

C'est pas ça, le phénomène de Runge?

Posté par
GaBuZoMeu
re : Polynôme de Bernstein 26-12-12 à 18:49

Ok, tu as raison ! On a effectivement un meilleur contrôle avec les polynômes de Bernstein.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Polynôme de Bernstein 26-12-12 à 18:50

> Leo Pour convergence ou continuité uniforme, à nouveau on ne parle de la même chose (suites ou UNE fonction). Mais le mot uniforme désigne le même genre de propriété... sur l'ordre des quantificateurs!

Posté par
Camélia Correcteur
re : Polynôme de Bernstein 27-12-12 à 16:43

Juste pour ne pas laisser un truc pas juste sur l'

le 26-12-12 à 18:27

Un polynôme de Lagrange est un polynôme de degré n qui coïncide avec la fonction en n+1 points

Posté par
Leonegres
re : Polynôme de Bernstein 28-12-12 à 08:20

Merci.

Tout cela me soulève quelque(s) question(s).

Léo  

Posté par
Camélia Correcteur
re : Polynôme de Bernstein 28-12-12 à 14:16

Je t'attends de pied ferme!

Posté par
Leonegres
re : Polynôme de Bernstein 29-12-12 à 10:04

J'imagine bien Camelia, j'imagine bien, toujours là sur le pied de guerre !

Bon, j'ouvre ma boite à questions (je me place dans \R) :

(f_n)_{n\in\N} suites de fonctions continues

On a le fait que si la fonction f est limite uniforme de la suite de fonctions (f_n)_{n\in\N} sur [a,b]\text{  }(a<b) , alors f est nécessairement uniformément continue sur [a,b] car continue sur [a,b] (Heine).

Dans ce cas, f est (aussi) limite uniforme d'une suite de fonctions polynomiales (P_n)_{n\in\N} sur [a,b] (Stone-Weierstrass)

Par contre, le fait que la fonction f soit limite uniforme de la suite de fonctions (f_n)_{n\in\N} sur \R tout entier, n'implique pas forcément le fait que f soit uniformément continue sur \R.

Eu égard à l'ensemble de ces points (s'ils sont vrais), qu'est-ce qui peut différencier en terme de propriétés remarquables (si il y en a ) 2 suites de fonctions telles que :

(f_n)_{n\in\N} converge uniformément vers f sur un ensemble E, f étant uniformément continue sur E

(g_n)_{n\in\N} converge uniformément vers g sur un ensemble E, g n'étant pas uniformément continue sur E

Merci

Posté par
carpediem
re : Polynôme de Bernstein 29-12-12 à 11:34

il faut distinguer :

la convergence uniforme et les propriétés éventuelles de la limite

(x2 + 1/n) converge uniformément vers x2 (qui n'est pas uniformément continue)

(x + 1/n) converge uniformément vers x (qui est uniformément continue) ....

l'expression "uniformément continue" signifie simplement que "la manière dont se fait la continuité" ne dépend pas du point où l'on se place ....

Posté par
Leonegres
re : Polynôme de Bernstein 29-12-12 à 12:28

Bonjour Carpediem,

Je te remercie.

D'où ma question, cela implique t-il des propriétés différentes (ou remarquables) pour chacune des suites de fonctions qui convergeraient vers ces limites uniformes, l'une étant continue uniformément, l'autre pas.

Posté par
carpediem
re : Polynôme de Bernstein 29-12-12 à 12:39

non ...

Posté par
Camélia Correcteur
re : Polynôme de Bernstein 29-12-12 à 13:48

D'accord avec carpediem; je ne vois rien de particulier à dire...

Posté par
Leonegres
re : Polynôme de Bernstein 29-12-12 à 17:25

Ok, merci.
Au moins une direction où je n'aurai pas à chercher, il y en a tant d'autres

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