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Polynome (décomposition)

Posté par
mouss33 22-12-08 à 15:10

Bonjour tout le monde.

J'ai un exercice qui me pose problème.

Voici l'énoncé:

Soit K un corps commutatif et P(X) un polynôme à coefficients dans K tel que P(X)= \prod_{i=1}^n (X-x_i)

Montrer que \frac{1}{P(X)}=\sum_{i=1}^n\frac{1}{P'(x_i)(X-x_i)}  

Les xi sont les racines de P(X)

Voilà ce que j'ai fait:

P(X)= \prod_{i=1}^n (X-x_i)
donc P'(X)=\sum_{j=1}^n \prod_{i=1,i\neq j}^n (X-x_i)


Après j'ai introduit le polynome Q_j(X)=\prod_{i=1,i\neq j}^n (X-x_i)

On a donc P'(x_j)=Q_j(x_j)

Mais après je n'arrive pas à finir.

Il faut que je décompose 1/P(X) en élements simples???

Posté par
Rodrigore : Polynome (décomposition) 22-12-08 à 15:51

Bonjour,
T'es pas loin

\Large \sum_{i=1}^{n} \frac{\prod_{j\neq i}(x_i-x_j)^{-1}}{X-x_i}=\sum_{i=1}^{n} \frac{\prod_{j\neq i}(X-x_j)/(x_i-x_j)}{\prod_{j\neq i}(X-x_j)(X-x_i)}=\frac{1}{\prod_{i}(X-x_i)}[\sum_{i=1}^n \prod_{j\neq i} \frac{X-x_j}{x_i-x_j}]

Si l'on appelle Q(x) le polynome entre crochet il est de degré au plus n-1 et vaut 1 pour tous les x_k, il est donc constant et égal à 1

Posté par
mouss33re : Polynome (décomposition) 22-12-08 à 16:06

merci de m'avoir répondu!

Il y a plusieurs petites choses que je n'ai pas compris.
Dans le passage à la dernière égalité, il manque une expression non?

Parce que juste avant, nous avons 4 expressions et après on n'en a plus que 3.

Posté par
Rodrigore : Polynome (décomposition) 22-12-08 à 16:09

Ah ben oui parce que tu regarde bien ce que j'ai fait j'ai réduit au même dénominateur les deux produit au dénominateur c'est (X-x_i) et le produit des (X-x_j) pour j différent de i. Ca fait donc tous les produit de x_i de 1 à n.

Posté par
mouss33re : Polynome (décomposition) 22-12-08 à 16:17

pfff oui exact!

Merci beaucoup à toi.


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