Bonjour!
On cherche les racines de (x+i)^2p+1-(x-i)^2p+1
si x est racine, alors on a
(x+i)^2p+1=(x-i)^2p+1
donc x+i = (x-i)exp(2ik/(2p+1))  où k est dans [|0,n-1|]
donc x(1-exp(2ik/(2p+1))) = -i(1+exp(2ik/(2p+1))

et un coup d' angle moitié fait apparaitre cotan

merci pour cette réponse
je ne comprends pas le passage de
(x+i)^2p+1=(x-i)^2p+1
à
x+i = (x-i)exp(2ik/(2p+1))

Quand tu as deux membres qui, élevés à une meme puissance , sont égaux, ça veut dire que les deux membres sont égaux à une multiplication par une racine nième de l'unité près.
Ici, les deux membres sont donc égaux à une multiplication par une racine 2p+1-ième de l'unité près

tu peux remarquer que
si je ne trompe pas alors verifie le toi meme en remarquant la forme de p et en derterminant son argument pricipal puis conclu

oups juste une erreur: k est dans [|0,2p|]

d'accord merci

désolé j'ai du mal a bien comprendre

"Quand tu as deux membres qui, élevés à une meme puissance , sont égaux, ça veut dire que les deux membres sont égaux à une multiplication par une racine nième de l'unité près.
Ici, les deux membres sont donc égaux à une multiplication par une racine 2p+1-ième de l'unité près"

c'est quoi l'unité, je ne vois pas trop pourquoi c'est exp(2ik/(2p+1))

(désolé, problème de connection)
vous n'avez pas vu dans le cours sur les complexes les racines nièmes de l'unité? En fait ce sont tous les complexes qui, élevés à la puissance n, donnent 1. Elles sont très pratiques dans de nombreux exercices sur les complexes.
A un n fixé, on a n racines nièmes c'est pour ça que k varie sur [|0,n-1|]. Si k sort de cet intervalle, on retombe sur des valeurs déja prises. Par contre, si k reste dans cet intervalle, on est sur d'avoir des nombres deux à deux distincts.
Soit n fixé. Les racine nième de l'unité sont les élèments de l'ensemble
{ exp(2ik/n) , k [|0,n-1|] }
(c'est facile de voir que ça marche: quand tu élèves ces nombres à la puissnace n tu tombe sur exp(2ik) qui vaut bien 1; par contre ça ne donne pas la démo)

merci pour cette explication, je ne l'avais pas vu en cours.
encore une dernière question:
pour retrouver cotan,"angle moitié" ça signifie que je dois passé l'exponentielle en cos()+i sin()?
désolé mes questions doivent paraitre un peu bêtes...

Non, ce n'est pas bete du tout. Surtout que "angle moitié" n'est pas une notation officielle.
Alors voila : on était arrétés à:
x(1-exp(2ik/(2p+1))) = -i(1+exp(2ik/(2p+1))
ceci donne
x exp(ik/(2p+1))(exp(-ik/(2p+1))-exp(ik/(2p+1)))= -iexp(ik/(2p+1))(exp(-ik/(2p+1))+exp(ik/(2p+1)))
ce qui donne, avec les fomrules d'Euler:
-2ix sin(ik/(2p+1))= -2icos(ik/(2p+1))
Ce devrait aller maintenant....
N'oublie pas de dire à chaque fois, en chaque début d'implication: il existe k tel que 0k2p+1 tel que....la suite
A la fin , pour pouvoir passer à cotan, tu te rends compte qu'il faut éliminer le cas où k=0 , car sin(0)=0. Enfin, tu obtiens bien des valeurs deux à deux distinctes, per injectivité de cotan sur ]0,[
Voila

oups encore un cookie
k est dans [|0,2p|](donc il faut écrire: il exitse k dans [|0,2p|] tel que blabla)
a la fin , il faut éliminer le cas ou k=0

merci beaucoup! j'ai bien compris et j'ai réussi a refaire tout ça!

ensuite ils me demandent de trouver les racines du polynôme.
étant donner que je sais maintenant que r_k est racine je peux peut-etre m'en servir pour trouver les autres...
j'ai trouvé que P(x) était de degré 2p+1, mais je ne voit pas comment le factoriser, sinon j'ai vu sur internet qu'il existe des méthodes approchées mais je ne comprend pas trop les explications...