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Polynômes
Bonjour,
J'ai récupéré un problème chez mes bizuth, mais je bloque à certains endroits...
on considère 
(x)= x2-x
Et on considère [dj(n)]/dxj , pour j
[0,n-1], j entier, la dérivé j-ième de n.
1)Montrer que la dérivé jième de n est un polynome de degré 2n-j. Et surtout , montrer que 0 et 1 sont des racines d'ordre de multiplicité au moins n-j.
2)Montrer que cette dérivé a au moins j racines distinctes dans ]0,1[.
3)Montrer qu'en fait , elle admet exactement j racines simples dans ]0,1[.
D'avance Merci.
Charles.
Merci, je viens tout juste de faire la récurrence,mais pour ce qui est des racines? Comment puis je faire?
Si admet k racines distinctes entre 0 et 1, avec les deux racines supplémentaires 0 et 1, cela fait (k+2) racines. Le théorème de Rolle affirme dans ces conditions que la dérivée de
, soit
s'annulle au moins une fois dans chacun des k+1 intervalles formés par ces k+2 racines. Tu peux donc faire à nouveau une récurrence sur cette question.
Quant à montrer qu'elles sont simples,...je ne vois pas !
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