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polynomes
bonjour
Soit P
R[X] deg P 
n+1 x1N*
a est une racine d'ordre n de P
b est une racine simple de P
Mq admet une racine sur ]a,b[
j'ai du mal a rédiger la solution, je pense qu'on peut faire une récurrence sur N*
Mq par récurrence sur nN* l'assersion suivante :
P(k): P^k , 
1kn , admet une racine sur ]a,b[
k=1 on a P(a)=0 et P(b)=0 donc d'après le the. de Rolle 
c]a,b[ tq P'(c)=0 donc ok pour k=1
de meme pour k =2
Soit nN
On suppose P(k) vraie pour k [1,n]
P^(n-1)(a)=0 et P^(n-1)(x(n-1))=0 donc d 'apres Rolle xn ]a,b[ td P^(n)(xn)=0
de plus P^(n)(xn)=0 et P^(n)(a)=0 donc d'apres Rolle x(n+1)]a,b[ tg (P^(n))'(x (n+1))=O
d'ou P^(n+1)(x (n+1))=O
donc la récurrence est concluante
Pour utiliser Rolle il ne faudrait pas introduire pour être rigoureux?
salut
si a est racine d'ordre n et b racine simple alors P(x)=(x-a)n(x-b)Q(x)...
qu'appelles-tu Pn ? est-ce P(n) ?
...et alors:
P'(x)=(x-a)n-1(x-c)Q1(x) (ton "c")
donc par récurrence ce qui se fait avec P se fait aussi avec P'
ouais , je suis d'accord , mais sa veut dire que ma réponse est fausse ??
et pour utiliser Rolle je devrais plutôt le rédiger de cette manière :
est C° sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ donc d'après Rolle
c
]a,b[ tq ()'(c)= P'(c) = 0
pourquoi un P tilda ?
non ta démo est bonne le T. de Rolle permet à chaque étape de trouver une valeur annulant la dérivée du poly considéré
mais il serait préférable d'utiliser la proposition :
P(k) : "P(k)(x)=(x-a)n-k(x-bk)Qk(x) et admet une racine dans l'intervalle ]a,b["
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