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Polynômes de Bernstein

Posté par
infophile 11-12-09 à 16:15

Bonjour,

Je vous présente la bête à Bernstein : 3$ B_n(f)=\Bigsum_{p=0}^{n}C_n^pf\(\frac{p}{n}\)(1-t)^{n-p}t^p.

J'ai montré que pour tout polynôme P, B_n(P) converge uniformément vers P quand n\to +\infty sur [0,1].

Je dois maintenant en déduire que pour f continue, B_n(f) converge uniformément vers f sur [0,1] (j'ai le droit à Stone-Weierstrass ! oui on fait un peu les choses à l'envers...).

Je dois donc avoir le diagramme commutatif suivant (?) :

3$ \blue \fbox{\begin{matrix}B_n(P_m)&&\stackrel{m\to +\infty}{\longrightarrow}&&B_n(f)\\ \\\longdownarrow && &&\downarrow\\ \\P_m&&\stackrel{\longrightarrow}{m\to +\infty}&&f\\\end{matrix}}  

Seulement je n'arrive pas justifier proprement la dernière flèche descendante (ce qu'il faut montrer quoi )

Merci

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynômes de Bernstein 11-12-09 à 16:23

Rebonjour Kevin

Tu as aussi un problème avec la flèche horizontale du haut!

Alors, plan d'action:

Tu choisis une suite (P_m) qui converge uniformément vers f.

Ensuite tu écris

|B_n(f)-f|\leq |B_n(f)-B_n(P_m)|+|B_n(P_m)-P_m|+|P_m-f|

Les deux dernières inégalités ne posent pas problème. C'est la première qui m'inquiète un peu... il faudrait utiliser la continuité uniforme de B_n sur [0,1]

Posté par
jeansebre : Polynômes de Bernstein 11-12-09 à 16:27

Salut Kevin

Bizarre, effectivement, Bn(f) (C.U.) f est une démonstration classique de Weierstrass n°1 (sans Stone).

Posté par
infophilere : Polynômes de Bernstein 11-12-09 à 16:33

Rebonjour Camélia

La continuité uniforme de B_n sur [0,1] ? Euh B_n:f\in C([0,1],\mathbb{R})\to B_n(f) n'est pas une fonction de la variable réelle (?)

C'est vrai que la flèche du haut on a la convergence simple mais il faut encore prouver qu'elle est uniforme pour conclure...

Posté par
infophilere : Polynômes de Bernstein 11-12-09 à 16:35

Salut jeanseb

Oui mais dans mon sujet on commence par prouver Stone-Weierstrass par des produits de convolutions, et dans la dernière partie on joue avec les polynômes de Bernstein. C'est vrai que ça m'a un peu étonné aussi mais bon why not.

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynômes de Bernstein 11-12-09 à 16:40

Aie j'ai dit des bêtises! Il faut quand même dire quelque chose de B_n(P_m)-B_n(f).

Posté par
infophilere : Polynômes de Bernstein 11-12-09 à 16:56

Je n'ai pas compris ta remarque Camélia, où as-tu dis des bétises ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynômes de Bernstein 11-12-09 à 17:13

Quand j'ai traité B_n comme fonction réelle!

Posté par
infophilere : Polynômes de Bernstein 11-12-09 à 19:52

J'arrive montrer que B_n(P_m) converge uniformément vers B_n(f) quand m\to +\infty :

(3$ |B_n(f)-B_n(P_m)|\le \Bigsum_{p=0}^{n}C_n^p|(f-P_m)(\frac{p}{n})|\le \Bigsum_{p=0}^{n}C_n^p||f-P_m||_{\infty})

Mais ce n'est pas ce que l'on veut, on doit faire tendre n vers l'infini...

Une idée ?

Peut-être en étudiant le sup des polynômes de Berstein ?

Merci

Posté par
infophilere : Polynômes de Bernstein 12-12-09 à 11:36

Petit up

Posté par
gui_toure : Polynômes de Bernstein 12-12-09 à 12:42

Salut à tous

Je ne sais pas si ça peut t'aider mais voici un problème sur ces polynômes sur mpsiddl : (et la correction : )

Tchou !

Posté par
infophilere : Polynômes de Bernstein 12-12-09 à 14:49

Pas trop, mais merci guigui

Je reviens lundi, pour le DS ^^'

Posté par
infophilere : Polynômes de Bernstein 12-12-09 à 16:57

No idea Camélia ?

Sinon je m'arrête là c'était la dernière question du sujet, j'attendrai le corrigé.

Merci en tout cas

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynômes de Bernstein 12-12-09 à 17:03

Pas pour l'instant... on verra si le Dimanche m'inspire!

Posté par
Drysssre : Polynômes de Bernstein 12-12-09 à 18:42

Tu as été un peu brutal quand tu as majoré (1-t)^(n-p)t^p par 1.
ca devrait marcher si tu les gardes et que tu remarques le binome de newton, une fois sorti le f-Pm

Posté par
infophilere : Polynômes de Bernstein 12-12-09 à 19:08

Ah oui c'est juste ! Je n'avais pas vu le binôme, merci

Posté par
Ulussere : Polynômes de Bernstein 12-12-09 à 23:04

Bon, alors on se donne (Pm) qui tend uniformement vers f, et >0

pour n,m entiers naturels
|Bn(f) - f| |Bn(f) - Bn(Pm)| + |Bn(Pm) - Pm| + |Pm - f|

Déjà, pour m suffisament grand, |Pm - f| < /3, car Pm -> f uniformement
Ensuite, pour n suffisamment grand, |Bn(Pm) - Pm| < /3 car Bn(Pm) -> Pm.

Enfin, reste à étudier |Bn(f) - Bn(Pm)| pour m suffisament grand :

déjà, on note Fx l'application f -> f(x)
on remarque que Fx est continue avec la norme uniforme au départ, et la valeur absolue à l'arrivée (évidence).

Puis, l'application Bn' qui à f associe Bn(f) s'exprime donc comme combinaison linéaires de Fx multipliées par des polynômes.
Bn' est donc continue pour la norme uniforme

Par conséquent, comme Pm->f uniformement, on en déduit que pour m suffisament grand, |Bn(f) - Bn(Pm)|</3

Ceci permet de conclure.

Posté par
Drysssre : Polynômes de Bernstein 13-12-09 à 00:08

Raisonnement faux ulusse.

Tu dis pour n suffisamment grand, Bn(Pm) tend vers Pm.
Mais après tu fais bouger ton m. Ca ne marche pas.

De toute facon, le probleme est réglé.


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