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polynômes de tchebychev
Bon voilà le prof nous a donné un problème à propos des polynômes tchebychev:
On se propose dans ce problème d'étudier de fonctions définies par la relation de récurrence:
Quelque soit x de C,T0(x)=1,T1(x)=x,Quelque soit n de N Tn+2(x)=2xTn+1(x)-Tn(x)
1-Préliminaires:
1.Calculer pour tout x Tn(x) pour n inférieur ou égal à 5 (trop facile pas de problème^^)
2.Calculer pour tout n Tn(0),Tn(1) et Tn(-1) (là je n'ai pas bien compris la question,est ce que je dois utiliser les propriétés donnés au dessus ou procéder par récurrence?)
3.Montrer que pour tout n Tn est une fonction polynôme de degré n.Quel est son coefficient dominant?(là
est ce que je dois trouver la forme générale de Tn comme étant une suite?)
4.Déterminer la parité de la fonction Tn(là pas de problème aussi)
2-Une expression trigonométrique de Tn:
Dans toute cette partie on supposera que x appartientà [-1,1],il existe donc un réel µ tel que x=cosµ
1.Montrer
quelque soit µ deR,quelque soit n de N,Tn(cos(µ))=cos(nµ) ( pas de problème non plus)
2.Montrer que quelque soit x de [-1,1],|Tn(x)|inférieur ou égal à 1 ( pas de problème)
3.Déterminer les racines de Tn sur [-1,1].En déduire toutes les racines de Tn avec leurs multiplicités (besoin d'une piste)
4.Déterminer toutes les racines de (Tn)' avec leur multiplicités (besoin de l'aide)
5.Pour k appartient à [|o,n|]
on pose bk=cos(((n-k)/n)pi).On remarquera que -1=b0 inférieur à b1 inférieur à ....inférieur à bn-1 inférieur à bn=1
Montrer |Tn(x)|=1 équivaut à il existe un k de [|0,n|],x=bk (on suppose toujours x de [-1,1])
Préciser le signe de Tn(bk)
(pour le 4 et le 5 je ne suis pas ariivée à le faire)
Comment répondre à la question 2 ?
Premièrement, pour calculer Tn(0), remplacer x par 0 dans les données :
<< T0(x)=1,T1(x)=x, Tn+2(x)=2xTn+1(x)-Tn(x) >>
Avec la relation de récurrence simplifiée, calculer Tn(0) en fonction de n.
Deuxièmement, pour calculer Tn(1) faire la même chose en remplacant x par 1.
Troisièmement, de même pour x=-1.
<< 3.Montrer que pour tout n Tn est une fonction polynôme de degré n.Quel est son coefficient dominant? >>
Cette question, se subdivise en trois :
Premièrement : montrer que Tn est un polynôme.
( par récurrence : montrer d'abord que si T(n-2) et T(n-1) sont des polynômes, cela entraîne que Tn est un polynôme )
Deuxièmement : Montrer que le terme de plus haut degré de Tn est de degré n
( c'est à dire que le terme de plus haut degré est de la foeme C.(x^n) avec C un coefficient dont on ne demande pas la valeur immédiatement)
Troisièmement : calculer la valeur du coefficient C dont l'existence a été prévue précédemment.
Il me semble que la question posée était claire. Pour quelle raison ne l'avais-tu pas comprise ?
en fait j'hésitai entre la démontrer par recurrence ou introduire les notions des suites
mais ça va j'ai essayé de le démontrer par récurrence forte
merci^^
Si j'ai bien compris, tu ne pouvais pas répondre à la question parce que tu hésitais entre deux méthodes.
C'est déjà une chance d'avoir deux méthodes possibles à sa disposition !
Que faire dans une situation aussi délicate, plutôt que d'hésiter indéfiniment ?
Et bien les appliquer toutes les deux. Et si ni l'une ni l'autre ne conduit au résultat, en chercher une troisième...
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