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Pourquoi intégrale de f(x)dx = F(b)-F(a)

Posté par
zed_protect 12-12-08 à 18:51

Bonjour, je voudrais savoir si quelqu'un pouvait me donner la démonstration de la propriété suivante :

Si f(x) est continue et F(x) l'une de ses primitives, alors

baf(x)dx = F(b)-F(a)

Posté par
Rodrigore : Pourquoi intégrale de f(x)dx = F(b)-F(a) 12-12-08 à 19:15

C'est pas tres compliqué dérive \int_a^x f(t)dt. Pour cela prend epsilon et tu as pour |y-x|<u |f(y)-f(x)| plus petit qu'espilon
\frac{1}{x-y}(\int_a^x f(t)dt-\int_a^y f(t)dt)-f(y)=\frac{1}{x-y}(\int_x^y(f(t)-f(y))dt)Puis tu majore l'interieur par epsilon pour |y-x|<u. Et donc la difference est plus petit qu'epsilon des que |y-x|<u.

Ce qui prouve ton resultat.

Posté par
zed_protectre : Pourquoi intégrale de f(x)dx = F(b)-F(a) 12-12-08 à 19:50

Merci pour ta réponse mais je n'ai pas compris.

Qu'est-ce que c'est u ? Pourquoi quand x-y<U alors |f(x)-f(y)|<epsilon ?

D'où vient la relation que tu annonces ensuite ?

Comment f(y) a pu rentrer dans l'intégrale ?

Merci

Posté par
Rodrigore : Pourquoi intégrale de f(x)dx = F(b)-F(a) 12-12-08 à 19:53

Ben le u c'est la continuité.
Pour tout epsilon il existe un u tel que bla bla bla
Le f(y) j'ai ecrit que c'etait 1/(x-y)\int_y^x f(y)dt

Posté par
zed_protectre : Pourquoi intégrale de f(x)dx = F(b)-F(a) 13-12-08 à 01:44

Bon ben j'ai rien compris à tes explications... (Mais c'est ok pour le u de la continuité).

Je pense avoir trouvé une démonstration du théorème fondamental de l'analyse, ce qui résout mon problème. Je vérifierai ça demain.

Posté par
jeansebre : Pourquoi intégrale de f(x)dx = F(b)-F(a) 13-12-08 à 10:01

Bonjour

Sans aller jusqu'au théorème fondamental:

Soit G(x) = 3$\rm \Bigint_a^{x}f(t) dt

1 -Démontrer que G est une primitive de f:

3$\rm \frac{G(x+h)-G(x)}{h} = \frac{\Bigint_a^{x+h}f(t) dt - \Bigint_a^{x}f(t) dt }{h} = \frac{\Bigint_x^{x+h}f(t) dt}{h} \\ \\ Or f est continue en x: \\ \\ \\ \forall \epsilon, \exists h ; \forall t\in [0;h], f(x)-\epsilon \leq f(t) \leq f(x)+\epsilon \\ \\ En integrant entre x et (x+h)(a gauche et a droite, les fonctions sont constantes), \\ puis en divisant par h, on obtient: \\ \\ \frac{h.(f(x)-\epsilon)}{h}\leq \frac{\Bigint_x^{x+h}f(t) dt}{h}\leq \frac{h.(f(x)+\epsilon)}{h} \\ \\ soit \\ f(x)-\epsilon\leq \frac{G(x+h) - G(x)}{h}\leq f(x)+\epsilon \\ \\ Le theoreme des gendarmes te dit que \frac{G(x+h) - G(x)}{h} tend vers f(x). \\ \\ Conclusion: G est une primitive de f.


2 - G et F sont deux primitives de f, donc G = F + Cste

3$\rm \Bigint_a^{b}f(t) dt = G(b) = G(b) - G(a) car G(a) = 0 \\ \\ = [F(b) + C] - [F(a)+ C] = F(b) - F(a).

Il me semble que ça devrait te convenir.

Posté par
zed_protectre : Pourquoi intégrale de f(x)dx = F(b)-F(a) 13-12-08 à 14:13

Super, merci jeanseb : c'est beaucoup plus clair comme ça !

Posté par
jeansebre : Pourquoi intégrale de f(x)dx = F(b)-F(a) 13-12-08 à 14:16

Posté par
zed_protectre : Pourquoi intégrale de f(x)dx = F(b)-F(a) 16-12-08 à 13:51

Finalement j'ai quand même quelques soucis avec ta démo :
\textrm \forall \epsilon , \exists h ; \forall t {\Large \epsilon} [0;h] f(x)-\epsilon \leq f(t) \leq f(x)+\epsilon

Premièrement, pour moi c'est f(x) qui devrait être encadré, pas f(t).
Ce problème suffit à me bloquer sur cette démo, mais il y a un deuxième point qui me gêne :


Dans la définition de la continuité, c'est epsilon qui détermine le h et non l'inverse, or tu utilise le même h qu'il y a dans l'intégrale. Selon moi il aurait fallu :
- Soit dire "quelque soit epsilon, il existe delta tel que..." mais à ce moment là, on ne peut pas aboutir car delta différent de h
- Soit fixer le epsilon au début de la démo, et ensuite utiliser le h dans l'inégalité et l'intégrale. Mais le problème est qu'on aurait pas le droit de faire tendre le h vers 0 pour retrouver la dérivée de G(x).

Posté par
zed_protectre : Pourquoi intégrale de f(x)dx = F(b)-F(a) 16-12-08 à 13:52

Euh en fait pour le deuxième point on aurait pu faire tendre h vers zéro (puisque si ça marche pour h1, ça marchera forcément pour h2 si h2<h1...)

Enfin bon, il reste quand même le problème du f(t) au lieu de f(x).

Posté par
zskiredjre : Pourquoi intégrale de f(x)dx = F(b)-F(a) 16-12-08 à 14:29

au fait c est quoi le théoreme fondamental de l'analyse ?

Posté par
zed_protectre : Pourquoi intégrale de f(x)dx = F(b)-F(a) 16-12-08 à 14:42

Théorème fondamental de l'analyse :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_de_l%27analyse

Sinon, j'ai fini par comprendre ce qu'on voulu dire Rodrigo et jeanseb et ça me convient tout à fait (pour Rodrigo, il suffit de remplacer ses y par x et ses x par x+h).

Jeanseb : pour le f(x) à la place du f(t) j'avais zappé une partie de la ligne... Finalement ça va.
Personnellement, je mettrais : soit epsilon dès le début et j'écrirai tout de suite la continuité de f afin de pouvoir réutiliser le même h pour la suite. Sinon tout va bien, encore merci

Posté par
jeansebre : Pourquoi intégrale de f(x)dx = F(b)-F(a) 16-12-08 à 17:34

Effectivement, tu as raison et ça m'était apparu tout en rédigeant, mais ça me semblait peu important. Je m'étais fait la correction suivante (seules les 3 premières lignes sont modifiées):

3$\rm\forall \epsilon, \exists \eta ; \forall t\in [0;\eta], f(x)-\epsilon \leq f(t) \leq f(x)+\epsilon \\ \\ \forall h \in[0;\eta],en integrant entre x et (x+h)(a gauche et a droite, les fonctions sont constantes), \\ puis en divisant par h, on obtient: \\ \\ \frac{h.(f(x)-\epsilon)}{h}\leq \frac{\Bigint_x^{x+h}f(t) dt}{h}\leq \frac{h.(f(x)+\epsilon)}{h} \\ \\ soit \\ f(x)-\epsilon\leq \frac{G(x+h) - G(x)}{h}\leq f(x)+\epsilon \\ \\ Le theoreme des gendarmes te dit que \frac{G(x+h) - G(x)}{h} tend vers f(x). \\ \\ Conclusion: G est une primitive de f. \\

La, ça me semble tout-à-fait correct.

Pour le théorème fondamental, je ne vois pas trop le rapport...

A+

Posté par
zed_protectre : Pourquoi intégrale de f(x)dx = F(b)-F(a) 16-12-08 à 21:12

Je pense que ta première ligne est fausse (x n'est pas forcément 0)

J'écrirais plutôt :

\forall \epsilon >0,\, \exists h, \, \forall t {\Large \epsilon} [x-h;x+h],\, f(x)-\epsilon < f(t) < f(x)+\epsilon

Posté par
zed_protectre : Pourquoi intégrale de f(x)dx = F(b)-F(a) 16-12-08 à 21:13

Pour ce qui est du théorème fondamental de l'analyse : regarde la seconde partie, c'est exactement le sujet.

Posté par
matovitchre : Pourquoi intégrale de f(x)dx = F(b)-F(a) 16-12-08 à 21:22

Bonjour !
Je n'ai pas vu les intégrales, mais j'ai une question vu qu'une aire de la fonction est représentée par une distance sur la primitive F(b)-F(a).
Est-ce qu'une distance sur la primitive seconde représente un volume sur la fonction ? (puis après la dimension 4...etc)

Posté par
jeansebre : Pourquoi intégrale de f(x)dx = F(b)-F(a) 16-12-08 à 21:32

Damned!

3$\rm\forall t \in[x;x+\eta]

Les h négatifs ne nous intéressent pas.

Pour le théorème fondamental de l'analyse, j'ai pris cela pour le théorème fondamental de l'algèbre (Th de d'Alembert).

Posté par
zed_protectre : Pourquoi intégrale de f(x)dx = F(b)-F(a) 16-12-08 à 22:01

Bon, grâce à ton aide, je vais pouvoir poster ma version de la démo :

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit a un réel quelconque.

Notons G la fonction définie sur I : \forall x {\Large \epsilon} I \, G(x)=\int_a^x f(t)dt

Soit \epsilon>0

f est continue en x, donc :

\exists \delta,\,\forall t {\Large \epsilon} [x-\delta;x+\delta],\, f(x)-\epsilon \leq f(t) \leq f(x)+\epsilon

Donc, directement :

\forall h tel que 0<h \leq \delta, on a : \\ \forall- {\Large \epsilon} [x-h;x+h],\, f(x)-\epsilon \leq f(t) \leq f(x)+\epsilon

(J'ai introduit le h, car cela me permettra de faire tendre h vers zéro tout en conservant le droit d'utiliser cette inégalité)

Donc, comme une intégrale conserve les inégalités (dans la mesure ou on intégre d'une valeur a à une valeur b avec a<b...) :

\forall h tel que 0<h \leq \delta

\int_x^{x+h} (f(x)-\epsilon) dt \leq \int_x^{x+h} f(t) dt \leq \int_x^{x+h} (f(x)+ \epsilon) dt

Ce qui nous donne :

h(f(x)-\epsilon) \leq \int_x^{x+h} f(t)dt \leq h(f(x)+\epsilon)

Remarquons que :

G(x+h)-G(x)=\int_x^{x+h} f(t)dt

On a donc :

h(f(x)-\epsilon) \leq G(x+h)-G(x) \leq h(f(x)+\epsilon\\ \\ \\ f(x)-\epsilon \leq \frac {G(x+h)-G(x)}{h} \leq f(x)+\epsilon

Comme cette inégalité est vraie \forall h avec 0<h<\delta, elle restera vraie si je fais tendre h vers 0 :

\lim_{h \rightarrow 0} f(x)-\epsilon \leq \lim_{h \rightarrow 0} \frac {G(x+h)-G(x)}{h} \leq \lim_{h \rightarrow 0} f(x)+\epsilon

C'est à dire :

f(x)-\epsilon \leq G'(x) \leq f(x)+\epsilon

Cette inégalité est vraie dans la mesure ou \epsilon>0, elle le restera donc si je fais tendre epsilon vers 0 :

\lim_{\epsilon \rightarrow 0} f(x)+\epsilon \leq \lim_{\epsilon \rightarrow 0} G'(x) \leq \lim_{\epsilon \rightarrow 0} f(x)+\epsilon

C'est à dire :

f(x) \leq G'(x) \leq f(x)

Ou encore : G'(x)=f(x) CQFD

Posté par
zed_protectre : Pourquoi intégrale de f(x)dx = F(b)-F(a) 16-12-08 à 22:05

Matovitch :

L'aire (algébrique) est délimitée par la courbe d'équation y=f(x) et la droite d'équation y=O.
Par contre, il est impossible de déterminer un volume puisque on travaille dans le plan... (Sinon, de quel volume veux tu parler ?)

Posté par
zed_protectre : Pourquoi intégrale de f(x)dx = F(b)-F(a) 16-12-08 à 22:06

Tiens c'est vrai que les h négatifs ne nous intéressent pas... Mais j'ai posté mon message avant de lire le tiens !

Posté par
jeansebre : Pourquoi intégrale de f(x)dx = F(b)-F(a) 17-12-08 à 16:19

Pour être tout a fait rigoureux dans ton excellente démonstration, je modifierais, a partir de:

elle restera vraie si je fais tendre h vers 0 :

Le problème, c'est que tu ne sais pas que ton rapport a une limite: c'est le théorème des gendarmes qui te le dit, avec en prime l'égalité de la limite avec f(x).

Il faut donc considérer \rm f(x)-\epsilon \leq \frac {G(x+h)-G(x)}{h} \leq f(x)+\epsilon \;qui est valable pour tout h dans [0;\eta] \\   et conclure par le théorème des gendarmes que:

- le rapport du milieu a une limite
- que par conséquent G est dérivable en x (définition de la dérivabilité en un point)
- et, cerise sur le gateau, cette limite étant f(x), G'(x) = f(x)

Il me semble que c'est le bon ordre dans l'enchaînement.

A toi!

Posté par
zed_protectre : Pourquoi intégrale de f(x)dx = F(b)-F(a) 17-12-08 à 17:46

Oui je pense que tu as raison, ça m'apparait plus "rigoureux" (parce que ce que j'ai fait je l'ai vu nulle part avant, tandis que ça marche bien pour le théorème des gendarmes).

En tous cas merci pour ton aide, le but est atteint, j'ai une bonne compréhension intuitive de ce que sont les intégrales maintenant !

Posté par
jeansebre : Pourquoi intégrale de f(x)dx = F(b)-F(a) 17-12-08 à 18:03


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