Salut,

IAF.

Salut

J'ai ceci :

Soient E et F normés, et différentiable sur un ouvert U de E.
Si U est un ouvert convexe de E et si pour tout , alors f est k-lipschitzienne sur U

Ici, ce résultat marche aussi pour U ouvert connexe, puisque convexe implique connexe, non ?

Merci !

Hum zut j'avais lu "convexe" dans ton post, et là ça marche parce qu'alors f est 0-lipschitzienne donc constante.

Mais attention un connexe n'est pas forcément convexe donc le résultat ne s'applique pas toujours.

oui mais comme convexe implique connexe alors le résultat de mon post de 14h02 s'applique aussi pour les connexes, non ?

ah non il aurait fallut qu'il y ait équivalence, non ?

Bonjour.
Si on prend alors comme est connexe on peut trouver une ligne brisée qui relie et .
On applique alors le théorème des accroissements finis sur les segments ayant pour extrémité deux points consécutifs de la ligne briséev (en la parcourant de à .
L'hypothèse faite sur la différentielle permet de conclure;

Non, on sait que ça marche pour les convexes qui sont connexes, certes mais il y a des connexes qui ne sont pas convexes auxquels on ne peut donc pas leur appliquer cette proposition.

Cela dit ça marche peut-être quand même, je vais voir.

Bonjour,

Salut.

A priori, on est sur des evn, donc connexe implique connexe par arcs (pour un ouvert) et l'argument de la ligne brisée marche donc.
Cela dit, je préfère l'autre façon de voir.