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Preuve rigoureuse ?
Bonsoir,
Bien calme l'ile ces derniers temps, vacances l'obligent 
J'ai un exercie ou la question est :
Un fonction dérivable et périodique sur R a-t-elle sa dérivée aussi périodique ?
Voila ce que je fais :
Soit une fonction f: R --> R
On suppose f T-périodique, nous voulons montrer que f' est aussi périodique.
On a pour tout x appartenant à R, f(x+T) = f(x)
On pose y = f(x+T)
On obtient donc par notation différentielle df(x+T) = f'(x)dx
Or df(x+t) = f'(x+T)
Ainsi on obtient f'(x+T) = f'(x)dx
De cette maniere nous avons montré que pour toute fonction dérivable sur R et T-périodique, on a sa dérivée qui est aussi T-périodique.
Cela dit, je ne suis pas du tout sur de la véracité de mon raisonnement. Merci de le corriger si possible 
Merci encore
bonjour Anassmalki
f(x+T) = fog(x) avec g(x) = x+T
( f(x+T) ) ' = ( f(x) ) '
( fog(x) ) ' = f '(x)
g '(x).f '(g(x)) = f '(x)
f '(x+T) = f '(x)
A vérifier
Bonsoir Mikayou
Merci avant tout d'avoir répondu
Mes notations sont donc maladroites si j'en juge ta réponse.
A confirmer...
je n'ai pas dit celà, Anassmalki,
attends, peut-être, quelqu'un de plus rigoureux qui pourra te le confirmer ou te l'infirmer
pour ma part, j'aurais procédé comme à 22:35
Bonsoir
Soit une fonction périodique de période
. Alors quels que soient les réels
et
:
Donc au passage à la limite :
Soit
Donc est périodique.
Mais si on considère la fonction
Celle-ci n'est pas périodique car
Or est dérivable et pour tout
réel
qui est périodique.
Donc une fonction non périodique peut avoir une dérivée périodique.
Bonsoir Anassmalki,
en utilisant la notation différentielle au lieu de la notation dérivée,
tu as obscurci ta démonstration en mutipliant les erreurs d'écriture, au point qu'on ne peut pas savoir si ta preuve contient vraiment la bonne idée (utilisée rigoureusement par mikayaou) de la dérivation d'une fonction composée. Comme professeur, j'aurais tendance à mettre 0 à ta démonstration, même si on a un début d'impression positive une ligne sur trois: exemple, tu poses y=f(x+T) (ce serait plutôt y(x)), mais ensuite tu n'utilises jamais ton y (qu'il fallait voir comme une fonction composée).
En résumé, la notation différentielle est utile pour faire un changement de variable dans une intégrale par exemple, mais uniquement comme moyen de calcul et non de démonstration.
Que signifie pour toi dx mathématiquement? La forme linéaire identité de 
?
Infophile a trouvé l'autre preuve possible en revenant à la définition de la dérivée.
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