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Preuve : si f conserve les barycentres alors elle est affine
Bonjour
Je recherche pour un exposé la preuve de la réciproque de la propriété suivante :
f est une application affine de E (e.affine de dimension finie) dans F (idem) si et seulement si elle conserve les barycentres.
J'ai la preuve de : si f est affine, alors elle conserve les barycentres.
Je recherche la preuve de : Si f conserve les barycentres, alors elle est affine.
J'ai cru voir qu'il y a des spécialistes de la géométrie affine sur le forum, j'espère qu'ils vont pouvoir m'aider.
Très bonne soirée.
Merci pour ta réponse, Nightmare, je n'y arrive pourtant toujours pas.
Je pars de f, application de l'espace affine E dans l'espace affine F qui conserve les barycentres, et A un point quelconque de l'espace affine E.
Il faut prouver que
que tu proposes (j'imagine qu'il n'y a pas de + entre f(A) et f(A+u) sous le vecteur) est l'application linéaire associée à f.
Si u et v sont deux vecteurs de l'espace vectoriel e associé à E,
(u+v) = vecteur ( f(A)f(A+u+v) ) d'après ta définition
(u) + (v) = vecteur ( f(A)f(A+u) ) + vecteur ( f(A)f(A+v) )
Est-ce que c'est égal et quel est le rapport avec la conservation des barycentres ?? Faut-il écrire A comme barycentre de A+u et A+v ? Pas possible vu que les trois ne sont pas alignés a priori...
Après il faut prouver que pour tout scalaire 
, (u)=(u)
(u)=vecteur (f(A)f(A+u))
...Non vraiment je ne vois pas. Quelle béotienne !
Bonsoir ;
On se donne et
deux espaces affines sur
(
) (à priori de dimensions quelconques) de directions respectives
et
et une application qui conserve le barycentre ,
et on se propose de démontrer que est affine .
Pour cela définissons l'application
est bien définie.
On doit d'abord s'assurer qu'il s'agit bien d'une application . Autrement dit ,
en effet si le quadrilatère
est un parallélogramme de
et si
est le milieu commun des diagonales
et
alors est le milieu commun des segments
et
(conservation du milieu)
donc le quadrilatère est un parallélogramme de
et par suite
.
est linéaire.
Si
et
sont deux vecteurs quelconques de
on peut toujours trouver trois points
,
et
de
tels que
(cela découle de la définition d'un espace affine)
si est le pôint de
tel que
on a aussi
et donc
est barycentre du système
et du coup est barycentre du système
c'est à dire
ou encore .
De même si
est un vecteur quelconque de
et
on peut toujours trouver trois points
,
et
de
tels que
étant barycentre du système
on a
étant barycentre du système
c'est à dire ou encore
sauf erreur bien entendu
Superbe et claire, cette démo. J'aimerais manipuler aussi bien le Latex que toi. Sais-tu où (comment) je pourrais apprendre ?
C'est vrai qu'il me manquait aussi de prouver que phi était bien une application.
Un grand merci en tout cas, il ne me manque plus qu'à assimiler tout cela à fond.
Merci merci !!
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