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Primitive, Bioche

Posté par
Thoy 09-03-10 à 19:14

Bonsoir,

Je voulais juste vous demander pour cette primitive

4$\Bigint_{}^{}\frac{sinxdx}{cosx+sinx}
Je pose 3$t=tg(\frac{x}{2}) d'où 3$x=2Arctg(t), 3$dx=\frac{2dt}{1+t^2}, 3$sinx=\frac{2t}{1+t^2} et 3$cosx=\frac{1-x^2}{1+x^2}.
Je simplifie donc l'intégrale en

3$\Bigint_{}^{}\frac{4dt}{-t^2+2t+1}
et en posant x-1=u

J'ai

4$-4\Bigint_{}^{}\frac{du}{u^2-\sqrt2^2}

mais bon je trouve une primitive finale absurde, pouvez vous m'éclairer ?

Posté par
lafol Moderateurre : Primitive, Bioche 09-03-10 à 19:22

Bonjour

j'aurais posé u = tan x, moi ...

Posté par
esta-fettere : Primitive, Bioche 09-03-10 à 19:29

bonsoir...
voila ce que j'aurais tenté:

cosx \sqrt2/2 + sin x \sqrt2/2 = sin (x+pi/4)

ensuite changement de variable: u = x + pi/4 et on utilise la trigo...

Posté par
Thoyre : Primitive, Bioche 09-03-10 à 19:43

Bonsoir,

C'est vrai.. d'où sors-tu ceci esta-fette?

en posant ça, je n'aurais pas pu utilisé les formules non ?

Posté par
kybjmre : Primitive, Bioche 09-03-10 à 19:51

Il ne s'agit pas de faire de l'écriture mais de raisonner (si possible correctement)

Pour tout x réel , cos(x) + sin(x) = 2.sin(x + /4) donc est non nul sur = \ (-/4 + )
Pour t , tu poses donc f(f) = sin(t)/(cos(t) + sin(t))

Pour primitiver ta "fonction" tu dois donc préciser sur quel intervalle contenu dans tu te places .
Prends par exemple U = ]-/4 , 3/4[ .
F : x /4x f  (de U vers ) est une primitive de f (sur U !)
Pour x U tu as F(x) = (1/2)0x-/4 ( (1 + tan(u))du = x/2 + /8 - (1/2)ln(cos(x - /4))
Les primitives de f sur U sont donc les x x/2 - (1/2)ln(cos(x - /4)) + ( )

Posté par
esta-fettere : Primitive, Bioche 09-03-10 à 19:55

sin (x + \pi/4) = \sin x . \cos (\pi/4) \ \ + \ \ \ cos x . \sin (\pi /4)= \frac {\sqrt 2}2 ( \sin x + \cos x)

Posté par
Thoyre : Primitive, Bioche 09-03-10 à 20:04

Ah oui esta-fette..

kybjm excuse moi, j'expose juste ce que j'ai fait pour y arriver...
Je ne comprend pas la fin de ton message.

Posté par
kybjmre : Primitive, Bioche 11-03-10 à 13:58

tu dis : Je ne comprendS pas la fin de ton message
Peux tu préciser ? En particulier est ce ma démarche  ou les calculs ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Primitive, Bioche 11-03-10 à 14:20

Bonjour à tous

Voilà une solution encore plus simple... (comme quoi les histoires de Bioche, faut pas s'y précipiter)

Posons

f(x)=\frac{\sin(x)}{\sin(x)+\cos(x)}\\ g(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)+\cos(x)}

et soient F et G des primitives de f et de g. Alors, puisque f(x)+g(x)=1, on peut prendre F(x)+G(x)=x.

Comme g(x)-f(x)=\frac{\cos(x)-\sin(x)}{\sin(x)+\cos(x)} on peut prendre G-F=\ln|\sin(x)+\cos(x)|, d'où F(x)=\frac{x-\ln|\sin(x)+\cos(x)|}{2}

... avec bien sur discussion sur les intervalles où c'est défini!

Posté par
olive_68re : Primitive, Bioche 11-03-10 à 14:23

Salut à tous

On a pas besoin de faire de changement de variable (sauf si c'est le but de l'exercice ?)

Si on considère 3$\mathrm{J}=\Bigint \ \fr{\sin(x)}{\cos(x)+\sin(x)}.

On appelle 3$\I celle de ton énoncé.

Alors 3$\blue \I+\mathrm{J}= x+C et 3$\blue \I-\mathrm{J}=\ell n\|\cos(x)+\sin(x)\|+C^{\prime}.

Au final 4$\red \fbox{\I=\fr{x+\ell n\|\cos(x)+\sin(x)\|}{2}+C^{\prime \prime} ( 3$C, \ C^{\prime} \ & \ C^{\prime \prime} \ \in \bb{R} )

Posté par
olive_68re : Primitive, Bioche 11-03-10 à 14:24

Salut Camélia

Très bonne idée ton idée

Posté par
olive_68re : Primitive, Bioche 11-03-10 à 14:27

Ah mince ! J'ai cru dans l'énoncé que le cosinus était au numérateur dans le message initiale, alors en faisant la différente des deux égalités en bleues on obtient le résultat de Camélia

Posté par
Camélia Correcteurre : Primitive, Bioche 11-03-10 à 14:40

Salut olive

Posté par
Thoyre : Primitive, Bioche 11-03-10 à 15:37

Bonjour
Je comprend bien, mais l'énoncé d'utiliser les règles de Bioche..

Posté par
Camélia Correcteurre : Primitive, Bioche 11-03-10 à 15:42

Bon, en effet, on est obligé de passer par t=tg(x/2). Alors

\Large I=\bigint\frac{\frac{2t}{1+t^2}\times \frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{2t+(1-t^2)}{1+t^2}}=\bigint\frac{4tdt}{(1+t^2)(1+2t-t^2)}

et non ce que tu dis...

Posté par
Thoyre : Primitive, Bioche 11-03-10 à 16:01

J'ai donc oublié un 1+t² au dénominateur je me disais. Du coup après c'est bon, je retrouve la même chose

Posté par
Camélia Correcteurre : Primitive, Bioche 11-03-10 à 16:16

... sauf que pour intégrer ce truc... décomposition en éléments simple et tout ça... pour rien!

Posté par
lafol Moderateurre : Primitive, Bioche 11-03-10 à 22:17

Bonsoir

je persiste : les règles de Bioche conduisent à poser t = tan(x) : en effet le changement x--> x+pi ne change pas l'élément différentiel.

on se retrouve alors avec 4$ \Bigint\frac{u\; du}{(1+u)(1+u^2)} = \fr12 \Bigint \(\fr{-1}{1+u}+\fr{u+1}{1+u^2}\)du

Posté par
lafol Moderateurre : Primitive, Bioche 11-03-10 à 22:17

pas pu garder t jusqu'au bout, il est devenu u ....


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