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Primitive d'une fonction

Posté par
benji1801 08-05-09 à 23:44

Bonsoir,

Cela fait deux heures que je suis sur cette primitive :

( (x-1) / ((x-1)4*(x-2)2) )dx

On me dit de faire un changement de variable en posant :
t=(x-2)/(x-1) donc x=(t-2)/(t-1).
Et donc dt=(1/(x-1)2)dx

Donc l'intégrale devient :

( (x-1) / ((x-1)2*(x-2)2) )dt

OK jusque là ? (j'ai remplacé dx par dt*(x-1)2, ce qui a pour effet de diminuer la puissance en bas).

Ensuite je remplace x par ((t-2)/(t-1)) .

Ce qui donne :

( (((t-2)/(t-1))-1) / ((((t-2)/(t-1))-1)2*(((t-2)/(t-1))-2)2) )dt

Ensuite en simplifiant on se retrouve avec :

( 2t2 - 9t + 15 - 11/t + 3/t2 )dt

Donc en intégrant, on a : (2/3)t3 - (9/2)t2 + 15t - 11*ln|t| - 3/t

Puis je remplace t par (x-2)/(x-1).

Cependant lorsque je vérifie avec Maple ou avec ma calculatrice, ça me donne un résultat différent.
Pensant que c'était la mise en forme, j'ai essayé avec des valeurs (en 0 par ex.) et je trouve des résultats différents...

Donc voilà... Qu'en pensez-vous ?

Merci !

Posté par
MatheuxMatoure : Primitive d'une fonction 08-05-09 à 23:49

bonsoir

je ne comprends pas bien la première phase de ton changement de variable...

tu ne peux avoir en même temps du "x" et du "dt" dans ton intégrale !!!!

Posté par
MatheuxMatoure : Primitive d'une fonction 08-05-09 à 23:52

ce que tu cherches à calculer, c'est bien \int\frac{1}{(x-1)^3(x-2)^2}dx ?

Posté par
benji1801re : Primitive d'une fonction 08-05-09 à 23:53

Et bien en fait, je fais le changement petit à petit.

Je pose t=(x-2)/(x-1) ie x=(t-2)/(t-1).

Mon dt vaut donc d((x-2)/(x-1))=dx/(x-1)².

Je remplace dx par dt*(x-1)² puis le x par (t-2)/(t-1).

Posté par
benji1801re : Primitive d'une fonction 08-05-09 à 23:53

En bas, c'est (x-1)4

Posté par
benji1801re : Primitive d'une fonction 08-05-09 à 23:53

et en haut x+1

Posté par
benji1801re : Primitive d'une fonction 08-05-09 à 23:54

(x+1) / (x-1)4(x-2)²

Posté par
benji1801re : Primitive d'une fonction 08-05-09 à 23:56

Ah oui, dans l'énoncé j'ai mis (x-1) en haut... Excusez moi

Posté par
benji1801re : Primitive d'une fonction 08-05-09 à 23:57

(x+1) / (x-1)4(x-2)² * dx

Ce qui devient (x+1) / (x-1)²(x-2)² * dt

Puis je remplace x par (t-2)/(t-1)

Posté par
MatheuxMatoure : Primitive d'une fonction 08-05-09 à 23:58

si tu fais correctement le changement de variable demandé, tu dois aboutir à \int\frac{(1-t)^3}{t^2}dt

c'est à dire \int\(\frac{1}{t^2}-\frac{3}{t}+3-t\)dt

sauf erreur de ma part,

MM

Posté par
MatheuxMatoure : Primitive d'une fonction 08-05-09 à 23:59

ha en haur c'est (x+1) ????

fais attention lorsque tu postes un exercice !!!! cela m'évitera des calculs inutiles !

Posté par
benji1801re : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:01

Oui vraiment désolé...

Avec le changement de variable j'arrive à : (2t-3)(t-1)3/t2 * dt

Posté par
MatheuxMatoure : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:03

quand on change la variable, on la change partout...

tu dois aboutir à \int\frac{3-2t)(t-1)^2}{t^2}dt

si je ne me suis pas trompé...

Posté par
benji1801re : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:03

Ah.. Je vais vérifier alors.

(Merci beaucoup de m'aider)

Posté par
MatheuxMatoure : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:05

pardon, oui je me suis trompé en écrivant la puissance...

tu as raison (2t-3)(t-1)3/t² dt

Posté par
MatheuxMatoure : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:06

(j'avais laissé (x-1) au cube en bas au départ !)

Posté par
benji1801re : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:07

Oui voila, donc ensuite je développe ceci, je sépare les fractions, et j'obtiens :

(2/3)t3 - (9/2)t2 + 15t - 11*ln|t| - 3/t

Posté par
MatheuxMatoure : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:08

ce qui donne (2t²-9t+15-11/t+3/t²) dt

Posté par
MatheuxMatoure : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:08

oui, c'est bon

Posté par
benji1801re : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:09

Oui voilà, et ensuite je remplace t par sa valeur en fonction de x.

Sauf que je trouve pas le même résultat qu'avec Maple ou que sur TI89... :S

Posté par
MatheuxMatoure : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:11

ne t'occupe pas des calculatrices pour l'instant !

cela te donne quoi quand tu remplaces ?

Posté par
benji1801re : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:12

Maple me donne : -5/(2(x-1)^2) + 11*ln(x-1) - 11*ln(x-2) - 8/(x-1) -2/3(x-1)^3 - 3/(x-2)

Déja, rien que le ln c'est pas bon car il me donne 11*ln((x-1)/(x-2)) ie 11ln(1/t) alors que j'ai 11ln(t)

Posté par
benji1801re : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:14

En remplacant, j'ai (2/3)*((x-2)/(x-1))3 - (9/2)*((x-2)/(x-1))2 + 15*((x-2)/(x-1)) - 11*ln|(x-1)/(x-2)| - 3*((x-2)/(x-1))

Désolé je connais pas encore le langage latex^^

Posté par
MatheuxMatoure : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:15

oui !!!!! enfin sauf que tu as "-11*ln(1/t)" et que ln(1/a)=-ln(a)

non ?

Posté par
MatheuxMatoure : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:16

et à la fin de ta primitive, c'est plutôt -3(x-1)/(x-2) non ?

Posté par
benji1801re : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:17

A oui c'est vrai jsuis bete^^ lol

Enfin voila, pour le reste ça doit pas etre pareil, car quand je prends en x=0 pour vérifier, je trouve pas le meme résultat :S

Posté par
MatheuxMatoure : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:17

alors tu sais ce que tu fais ...

sur ta TI89, tu tapes ta primitive et tu enlèves la sienne.... et cela te donne quoi ?

Posté par
benji1801re : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:18

Oui oui pardon, la fin vous avez raison, sur ma feuille j'ai ce que vous avez mis, mais en recopiant, j'ai fais des copiés/collés c'est pour ca :s

Posté par
MatheuxMatoure : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:18

(une valeur ne suffit pas !!!!)

fais lui plutôt faire la différence des deux

Posté par
benji1801re : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:24

En faisant la différence des deux (sur Maple et sur TI89) le résultat n'est pas nul... :S

Posté par
MatheuxMatoure : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:26

et ça fait combien la différence ?

Posté par
benji1801re : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:30

-49/6 xD
A une constante pres...

Posté par
MatheuxMatoure : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:31

cela ne te ferait pas 49/6 par hasard cette différence ?

Posté par
MatheuxMatoure : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:32

bon ben alors ! une primitive est toujours à une constante près ! la tienne est bonne aussi !

Posté par
benji1801re : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:36

Ah oui ben voila ^^

Parcequen fait apres je dois trouver LA primitive qui en x=0 donne 0. Donc en fait, suivant que je prenne ma fonction ou celle de Maple, la constante à rajouter sera différente.^^

Merci beaucoup Et pardon pour toutes les petites erreurs d'écriture^^

Bonne soirée.

Posté par
MatheuxMatoure : Primitive d'une fonction 09-05-09 à 00:37

pas de quoi, ce fut un plaisir...

bonne fin de soirée

alain


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