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primitive d'une intégrale

Posté par
gouari 26-04-09 à 23:29

Bonsoir à tous !
je vous prie de bien vouloir m'aider a trouver la primitive de cette intégrale ; Voilà :
   1/x²-1
  et merci d'avance .

Posté par
MatheuxMatoure : primitive d'une intégrale 26-04-09 à 23:33

Bonsoir

la primitive de cette intégrale ?????

j'avoue ne pas comprendre ce que tu demande !

MM

Posté par
MatheuxMatoure : primitive d'une intégrale 26-04-09 à 23:49

tu n'as pas écrit une intégrale mais une primitive (il n'y a pas de bornes)

de plus, il manque le "dx" dans ta primitive écrite avec le symbole

et il doit manquer des parenthèses car je présume que tu parles d'une primitive de 1/(x²-1)

Posté par
gouarire : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 00:33

salut ! désolé
je voulais dire trouver la primitive de

  1/(x²-1)

Posté par
bill159re : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 01:13

moi je comprend, il cherche la primitive seconde de 1/(x²-1)...

Posté par
olive_68re : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 01:25

Salut

Bill \to il n'y a pas que une primitive

4$\blue \fbox{\fbox{ \(arcsin(x)\)^'=\fr{1}{\sqrt{1-x^2}}}} ou bien que 4$ \blue \fbox{\fbox{\(arccos(x)\)^'=-\fr{1}{\sqrt{1-x^2}}}

J'ai pensé à ça peut-être que ça peut t'aider je ne sais pas ^^ Je me permet de te poster ça puisque MatheuxMatou est sur le coup donc il pourra nous dire si c'est utile ou non ^^

Posté par
bill159re : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 01:30

\frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \frac{1}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^{\frac{1}{2}}}}} = {\left( {{x^2} - 1} \right)^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{2x}} \times 2x{\left( {{x^2} - 1} \right)^{ - \frac{1}{2}}}


je crois que tu dois utiliser une intégration par partie...

Posté par
bill159re : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 01:40

je trouve par intégration par partie:

\int {\frac{1}{{2x}} \times 2x{{\left( {{x^2}- 1} \right)}^{- \frac{1}{2}}}} = \left[ {\frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{2x}}} \right] - \frac{1}{2}\int {\sqrt {{x^2} - 1} }

Posté par
bill159re : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 01:43

qu'en pense tu Olive?

Posté par
olive_68re : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 01:51

Euh ce que tu as fais me paraît faux enfet..

J'imagine que tu as posé 4$u'=2x\times (x^2-1)^\fr{-1}{2} mais 4$u=\fr{1}{2}\sqrt{(x^2+1)}

Et en plus je vois pas ou tu as fais passer la dérivée de 4$v..

(Au cas ou 4$v=\fr{2x} donc 4$v'=-\fr{1}{2x^2} )

Je crois que trouver une primitive de ce truc dépasse un peu notre niveau de terminal ^^
(C'est quand même un post niveau école ingénieur ..)

Posté par
olive_68re : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 01:54

Oups je sais pas pourquoi j'ai mis un -12 pour le u' ..

Et je voulais écrire v=\fr{1}{2x}

Posté par
bill159re : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 01:57

nan pas posé ça:

j'ai posé: u=1/2x et v'=2x*(x^2)-1

je cherchais une méthode TS... ^^

Posté par
olive_68re : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 02:16

Oui ^^ me parait faux quand même le v'=2x*(x^2)-1

On verra bien demain ^^ MatheuxMatou est un monstre en maths donc on verra qu'elle était la solution

Posté par
bill159re : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 02:27

pourquoi c'est faux, la primitive de 2x{\left( {{x^2} - 1} \right)^{ - \frac{1}{2}}}

est \frac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^{ - \frac{1}{2} + 1}}}}{{ - \frac{1}{2} + 1}} = \frac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} = 2\sqrt {{x^2} - 1}

Posté par
agnesire : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 06:50

Bonjour;

\Bigint{\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}dx=

\sqrt{x^2-1}=-x+t

3$x^2-1=x^2-2x+t^2

2xt=t^2+1

3$x=\frac{t^2+1}{2t}

3$dx=\frac{t^2-1}{2t^2}

3$\sqrt{x^2-1}=\frac{t^2-1}{2t}

3$\sqrt{x^2-1}=-x+t=-\frac{t^2+1}{2t}+t=\frac{t^2-1}{2t}

3$\Bigint{\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}dx=\Bigint{\frac{\frac{t^2-1}{2t^2}}{\frac{t^2-1}{2t}}dx=\Bigint{\frac{1}{t}dt=ln\left| {t} \right|=ln\left| {x+\sqrt{x^2-x}} \right| \\

Posté par
agnesire : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 07:07


*=rectif sur les 3$dx,3$dt

3$*\Bigint{\frac{ dx}{\sqrt{x^2-1}}= \\

3$\sqrt{x^2-1}=-x+t

3$x^2-1=x^2-2x+t^2

2xt=t^2+1

3$x=\frac{t^2+1}{2t}

3$*dx=\frac{t^2-1}{2t^2}dt

3$\sqrt{x^2-1}=\frac{t^2-1}{2t}

3$\sqrt{x^2-1}=-x+t=-\frac{t^2+1}{2t}+t=\frac{t^2-1}{2t} \\
3$\Bigint{\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}dx=*\Bigint{\frac{\frac{t^2-1}{2t^2}}{\frac{t^2-1}{2t}}dt=\Bigint{\frac{1}{t}dt=ln\left| {t} \right|=ln\left| {x+\sqrt{x^2-x}} \right| \\ [/tex]

Posté par
bill159re : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 15:31

c'est certain c pas de notre niveau de terminale !

Posté par
olive_68re : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 15:44

Eh oui ^^ Et ça ne ressemble pas du tout a de l'arccos ou de l'arcsin comme j'avais pu le croire au départ ^^

Posté par
MatheuxMatoure : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 18:10

l'idée est là Agnesi... sauf qu'à la fin c'est (x²-1) dans le "ln", et pas (x²-x)...

en fait , une primitive de 1/(x²-1) sur ]1 ; + [ est tout simplement la fonction argch(x), fonction réciproque de la fonction "ch"

et on démontre que pour tout x 1 , argch(x)=ln(x+(x²-1))

(sur ]- ; -1[, une primitive est (- argch(-x)) )

ensuite, la primitive de argch(x) se trouve avec une intégration par parties

On dérive "argch" et on primitive "1"

donc une primitive de xdx/(x²-1) est au final :
x*argch(x) - (x²-1)

cordialement à vous,

MM

Posté par
olive_68re : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 18:16

Salut Alain

Petite question de curiosité, il y a un lien entre arccos(x) et argch(x) ?

Posté par
MatheuxMatoure : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 18:20

aucun dans R... sinon une ressemblance entre la définition du ch et la formule d'Euler pour le cosinus... je pense que c'est pour cette raison qu'on l'a appelé "cosinus hyperbolique"

ch(x)=(exp(x)+exp(-x))/2

il y a quand même un lien si on passe sur les complexes :

ch(ix)=cos(x) et cos(ix)=ch(x)

Posté par
MatheuxMatoure : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 18:22

"ch" induit une bijection de [0;+[ sur [1;+[

la fonction argch est la réciproque de cette bijection et est donc définie sur [1;+[

Posté par
olive_68re : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 18:29

Ok merci Pourtant cette fonction ressemble pluôt à une parrabole

Ah oui je peux imaginer la tête de cette fonction,sa réprésentation graphique est donc symétrique à celle de ch par rapport à la droite d'équation 4$y=x et donc comme tu l'as dit définie sur 4$[1;+\infty[

Posté par
MatheuxMatoure : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 18:33

oui, cela ressemble effectivement à une parabole... mais ce n'en est pas une.

Sa courbe est la forme prise par une corde ou une chaîne qu'on tient aux deux extrémités et qu'on laisse pendre... c'est pour cela qu'on appelle souvent cette courbe la "chaînette"... en latin , le mot "catena", qui veut dire "chaîne", a donné naissance à "caténaire" en français qui est la ligne électrique alimentant la locomotive d'un train... C'est parce que la forme adoptée par les fils électriques pendant entre deux pylônes est une chaînette.

(Galilée lui-même a fait l'erreur et pensait que cette courbe était une parabole... mais il n'arrivait pas à le démontrer... et pour cause !)

alain

Posté par
olive_68re : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 18:41

Eh bah merci beaucoup pour toutes ces informations Alain

Posté par
MatheuxMatoure : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 18:42

pas de quoi Olive...

Posté par
agnesire : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 19:17

Bonsoir;

Exact il y a un x de trop; désolé.

Posté par
MatheuxMatoure : primitive d'une intégrale 27-04-09 à 19:19

pas de mal ! cela arrive... et si on suit ta démo, on doit être capable de rectifier.

cela dit, dans ta démo il faudrait justifier la bijection xt ... et voir comment est "t" suivant les cas x>1 et x<1 ...


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