Niveau maths spé

primitive de fonction

Posté par
ronnie 13-12-09 à 21:26

bonsoir
pouvez vous s"il vous plait me
donner la primitive de la fonction
f(x)=cos(x²)?
merci d"avance

Posté par re : primitive de fonction 13-12-09 à 22:02

Bonsoir.

LA primitive ? Il y en a une infinité ...
En voici une : $3$ x \to \Bigint_0^x \cos(t^2)dt$ , les autres s'en déduisent en ajoutant une constante quelconque.

Posté par re : primitive de fonction 13-12-09 à 22:03

salut

cette fonction admet certes des primitives sur IR, puisqu'elle y est continue, mais on ne connaît pas d'expression simple pour elle, il faut invoquer la fonction de Fresnel

s'il s'agit de justifier la convergence de $3$\Bigint_0^{+\infty}\cos(x^2)\rm{d}x$ , je te conseille le changement de variable $u=x^2$

Posté par re : primitive de fonction 13-12-09 à 22:06

lol....akhnor

Posté par re : primitive de fonction 15-12-09 à 00:38

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2} dx=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$
donc $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ix^2} dx=\sqrt{\frac{\pi}{i}}$
or $\sqrt(i)=e^{-i\frac{\pi}{4}}$
donc
$\sqrt{\frac{\pi}{i}}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}$
(par identification) sans oublier que ..." $e^{-ix^2}$ est paire" on a:
$\int_{0}^{\infty} e^{-ix^2} dx=\int_{0}^{\infty} cos(x^2)-isin(x^2) dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}-i\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}$
...(je vous laisse conclure!!)
Remarque: (bonus) $\int_{0}^{\infty} cos(x^2)dx=\int_{0}^{\infty} sin(x^2)dx$
(sauf erreur...

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