Bonjour,

On va décomposer f en éléments simples.

On commence par une division de polynômes :

f(x) = x⁴/[(x+2)(x²+x+2)]
= x⁴/(x³+x²+2x+2x²+2x+4)
= x⁴/(x³+3x²+4x+4)
= [x⁴+3x³+4x²+4x -3x³-4x²-4x]/(x³+3x²+4x+4)
= [x⁴+3x³+4x²+4x -3x³-9x²-12x-12 +5x²+8x+12]/(x³+3x²+4x+4)
= [x(x³+3x²+4x+4)-3(x³+3x²+4x+4)+(5x²+8x+12)]/(x³+3x²+4x+4)
= x-3 + (5x²+8x+12)/(x³+3x²+4x+4)
= x-3 + (5x²+8x+12)/[(x+2)(x²+x+2)]

Puis on met (5x²+8x+12)/[(x+2)(x²+x+2)] sous la forme a/(x+2) + (bx+c)/(x²+x+2) :

a/(x+2) + (bx+c)/(x²+x+2) = [a(x²+x+2)+(bx+c)(x+2)]/[(x+2)(x²+x+2)]
= (ax²+ax+2a+bx²+cx+2bx+2c)/[(x+2)(x²+x+2)]
= [(a+b)x²+(a+2b+c)x+2(a+c)]/[(x+2)(x²+x+2)]
Par identification : { a+b = 5 ; a+2b+c = 8 ; 2(a+c) = 12 }
Donc : { a = 4 ; b = 1 ; c = 2 }

Donc :
f(x) = x-3 + 4/(x+2) + (x+2)/(x²+x+2) qui est facile à intégrer ...

Merci de votre réponse mais il y a une erreur de signe dès le début: le dénominateur de la fonction est [(x-2)(x²+x+2)].