Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

probleme avec un développement en série entiere

Posté par
robby3 06-02-09 à 17:54

Bonjour tout le monde,
je bute sur le développement en série entière de 5$ \red \fbox{h(z)=\frac{z.sin(a)}{z^2-2cos(a).z+1}} \\
je calcul le discriminant du dénominateur:
5$ \Delta=-4sin^2(a)<0 \\
donc on a

5$ \green \fbox{z^2-2cos(a).z+1=(z-exp{-ia})(z-exp{ia})} \\
j'ai donc

5$\blue \fbox{h(z)=\frac{z.sin(a)}{(exp{-ia}-z)(exp{ia}-z)}=z.sin(a).[\frac{A}{(exp{-ia}-z)}+\frac{B}{(exp{ia}-z)}]} \\


on obtient 5$ \fbox{A=\frac{1}{exp{ia}-exp{-ia}}} et

5$ \fbox{B=\frac{1}{exp{-ia}-exp{ia}}} \\


d'ou 5$ h(z)=z.sin(a).[\frac{1}{exp{ia}-exp{-ia}}.\frac{1}{(exp{-ia}-z)}+\frac{1}{exp{-ia}-exp{ia}}.\frac{1}{(exp{ia}-z)}]

soit encore:

5$ h(z)=\frac{z}{2i}\(\frac{1}{exp{-ia}-z}-\frac{1}{exp{ia}-z}\) \\ \\ =\frac{z}{2i}\(\frac{1}{exp{-ia}(1-z.exp{ia})}-\frac{1}{exp{ia}(1-z.exp{-ia})}\) \\ \\ \\

et 5$ \rm \fbox{\fbox{\frac{1}{1-z.exp{ia}}=\Bigsum_{n=0}^{+\infty} (z.exp{ia})^n pour |z.exp{ia}|<1}}

et 5$ \rm \fbox{\fbox{\frac{1}{1-z.exp{-ia}}=\Bigsum_{n=0}^{+\infty} (z.exp{-ia})^n pour |z.exp{-ia}|<1}}

d'ou je dirais que pour 5$ |z|<1

j'ai 5$ \red \fbox{\fbox{h(z)=\frac{z}{2i}[\frac{1}{exp{-ia}}\Bigsum_{n=0}^{+\infty} (z.exp{ia})^n-\frac{1}{exp{ia}}\Bigsum_{n=0}^{+\infty} (z.exp{-ia})^n]}}

est-ce correct? et est-ce que ça se simplifie?

Merci d'avance de vos réponses!

Posté par
kaiser Moderateurre : probleme avec un développement en série entiere 06-02-09 à 18:55

Salut Robby

oui, ça se simplifie : rassemble les deux somme en une seule (et fais apparaître un sinus).

Kaiser

Posté par
robby3re : probleme avec un développement en série entiere 06-02-09 à 19:00

Salut Kaiser!(ça fait un bail!)

je trouve 5$ \fbox{h(z)=\Bigsum_{n=0}^{+\infty} z^n.sin(a(n+1))}

Posté par
kaiser Moderateurre : probleme avec un développement en série entiere 06-02-09 à 19:02

pas toutafé : c'est z à la puissance n+1.
Sinon, tout est OK !

Kaiser
P.S : eh, oui, ça fait un bail !

Posté par
robby3re : probleme avec un développement en série entiere 06-02-09 à 19:05

ah oui mince!
ok!
Merci Kaiser!

Posté par
kaiser Moderateurre : probleme avec un développement en série entiere 06-02-09 à 19:06

Mais je t'en prie !


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !