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Problème avec un pentagone régulier et le produit scalaire...
Bonjour a tous, voivi "un petit" exercice sur lequel je bloque ,j'espere que vous pourait m'aider :
Soit C un cercle de centre O et de rayon R. [OA] et [OA'] sont deux rayons perpendiculaires. Le point P est tel que et Q est le milieu de [OA'].
Soit C' le cercle de centre P passant par Q. Il coupe la droite (OA) en I et J.
Les tangentes en I et J à C' recoupent C en quatre points tel que ABCDE est un pentagone régulier.
1.pour le prouver , pourquoi suffit-il de démontrer que et
?
2. a)Calculez PQ en fonction de R et en déduire que .
b)Démontrer que et en déduire
3. a)Calculez
b)En déduire que ABCDE est un pentagone régulier.
Merci d'avance à toutes les personnes qui pourront m'aider.
S'il vous plait quelqu'un pourrait-il m'aider ca vas devenir urgent. Je suis completement perdu avec cet exercice. Merci d'avance.
Bonsoir
je veux bien que tu sois un peu perdu pour la suite de l'exo, mais tu dois bien voir pourquoi on a un pentagone ABCDE si
angle AOB=2pi/5 et angle AOC=4pi/5
en effet E est symétrique de B par rapport à (OA) ainsi que D par rapport à C et si tu calcules les 5 angles BOA; AOE. EOD; DOC et COB
tu vois qu'ils sont égaux donc le pentagone est régulier.
2) un petit coup de Pythagore
PQ²=OP²+OQ² et d'après l'énoncé
PQ²=R²/16+R²/4=5R²/16
PQ=RV5/4
OI=PI-OP= et comme PQ=PI
OI=R(V5/4-1/4)=R/4(V5-1)
b)comme OI est la projection du vecteur OB sur OA
on a donc bien
OA.OB=OA.OI et comme OA et OI sont colinéaires
le produit scalaire= long.OA*longOI=R²/4(V5-1)
et par ailleurs OA.OB=R²cos(OA.OB)
tu as donc la valeur du cosinus et tu vois sur ta calculette qu'il s'agit d'un angle de 2pi/5 et que le pentagone est régulier
Bon travail
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