Bonjour, j'ai cet exercice a traiter pour la spé maths:
Montrer que,n,24^n - 2 est divisible par 7.
J'ai commencé l'exercice mais je ne tombe pas sur le bon resulat... Je pense qu'il y a une erreur dans mon raisonnement mais je ne vois pas laquelle...
Voici ce que j'ai fait:
Etudions le reste dans la division euclidienne de 4n par 7
44[7] , 422[7] et 431[7].
Donc:
-Pour n0[3], 4n1[7] donc 24^n2[7] donc 24^n-20[7]
-Pour n1[3], 4n4[7] donc 24^n24[7] donc 24^n-20[7]
-Pour n2[3], 4n2[7] donc 24^n4[7] donc 24^n-22[7]
Voila voila... Je ne comprends pas pourquoi je n'ai pas 24^n0[7] à chaque fois...
Bonjour !
Vérification que tu aurais pu faire tout seul : qui est congru à 2 modulo 7.
Il y a donc une faille dans tes raisonnements : celle de croire que les congruences se "transmettent" aussi dans les exposants. As-tu démontré que congrus modulo 7 implique congrus modulo 7 ? Tu vois bien que c'est faux pour
Ah oui je vois !
C'est vrai j'aurais dû verifier mais je pensais vraiment que ça marchais...
Du coup je sais plus trop comment traiter cet exo... J'ai essayé par recurrence mais je n'ai aboutit a rien...
bonjour : )
la récurrence fonctionne bien... mets jusqu'à l'endroit où tu bloques,
sinon on peut le faire en utilisant le binome de Newton, peut être une notion qui n'est plus enseignée au lycée...
et on conclut,
c'était quand même une erreur intéressante que t'as faite car ça a fonctionné pour deux cas,
exemple en modulo 2 :
si n = 1, alors 2^n = 2 = 0, a-t-on 2^(2^n) = 2^0 = 1 ?
non car 2^(2^n) = 2^2 = 4 = 0 !
tu vois qu'il y avait un souci...
Alors en fait pour ma récurrence, je tombe pas sur le bon résultat non plus... Je ne pense pas que ce que je fait soit mathématiquement correct en fait vu que c'est la premiere fois que je fait de la récurrence avec des congruences
Voici ce que j'ai fait:
(j'ai préalablement fait l'initialisation qui, elle, fonctionne bien)
Supposons que le proprieté est vrai pour un certain rang k réel et démontrons alors qu'elle est vraie au rang k+1:
2^4n-20[7] 16n - 20[7]
162[7] : 16n x 16 2x2 [7]
Voila voila... Je suppose que ce n'est pas vraiment ça...
Le binôme de Newton n'est effectivement pas enseigné au lycée... Ca sert dans la récurrence ?
on souhaite démontrer que pour tout entier naturel n, 2^(4^n) - 2 est divisible par 7,
initialisation,
si n = 0, 2^(4^n) - 2 = 2^1 - 2 = 0 est bien divisible par 7,
hérédité,
on suppose que la propriété est vraie pour un rang n, c'est à dire que
et on souhaite montrer qu'elle l'est encore au rang suivant n + 1, c'est à dire que
(hypothèse de récurrence)
(utilisation d'une propriété des congruences
(car et )
l'hérédité est établie,
il y a plusieurs soucis dans ta récurrence,
tu parles de rangs k et k + 1 mais tu écris avec des 'n'...
c'est
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