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problème de fonction exponantielle

Posté par
rikkufan 04-11-07 à 16:25

Bonjour à tous!
Voilà j'ai un problème qui me pose pas mal de difficulté... je vous remerci d'avance de m'aider =)

Soit f la fonction définie sur [0;+[ par:

   f(x)= xe-1/x si x>0
et
   f(0)=0

Calculer lim quand x+ de [f(x)-x] et en déduire que la courbe représentative C de f admet une assymptote D
(on écrira: xe-1/x-x= (e-1/x-1)/(1/x))
Justifier que C et D n'on aucun point commun.


Merci beaucoup

Posté par
rikkufanre : problème de fonction exponantielle 04-11-07 à 17:03

Posté par
cailloux Correcteurre : problème de fonction exponantielle 04-11-07 à 18:43

Bonjour,

f(x)-x=x(e^{-\frac{1}{x}}-1)=-\frac{e^{-\frac{1}{x}}-1}{-\frac{1}{x}}

en posant h=-\frac{1}{x}, \lim_{x\to +\infty}h=0

et \lim_{x\to +\infty}[f(x)-x]=\lim_{h\to 0}-\frac{e^h-1}{h}=-1

d' où \lim_{x\to +\infty}[f(x)-(x-1)]=0

La droite d' équation y=x-1 est donc asymptote à C en +\infty

Pour la suite il faut prouver que l' équation f(x)-x+1=0 n' a pas de solution.

Cette équation est équivalente à e^{-\frac{1}{x}}-1+\frac{1}{x}=0

Soit en posant X=-\frac{1}{x}: e^X-1-X=0

A ce stade, on peut étudier les variations de g définie par g(X)=e^X-1-X

Elle admet un minimum en 0 et g(0)=0 donc g(X)\geq 0 sur \mathbb{R} avec l' annulation en X=0 mais l' équation \frac{1}{x}=0 n' ayant pas de solution, l' équation de départ e^{-\frac{1}{x}}-1+\frac{1}{x}=0 n' en a pas non plus.

La courbe C et son asymptote D n' ont pas de points communs.

Posté par
rikkufanre : problème de fonction exponantielle 06-11-07 à 17:12

merci ! =)


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