Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Problème de limite
Bonjour à tous !
Je suis nouvelle sur le forum et j'espère que vous pourrez m'aider. Je suis en hypokhâgne, j'ai un DM de mathématiques à faire, et quelques questions me posent problème. Voici la fonction avec laquelle je travaille :
Pour tout m appartenant à /R*, on désigne par fm (le m est en indice) la fonction définie par fm(x) = e(mx.ln(1+x)).
On doit tout d'abord déterminer l'ensemble de définition, j'ai trouvé
]-1;+infini[, puis discuter suivant m les limites de fm aux bornes de cet ensemble.
En +infini, j'ai trouvé 0 pour m<0 et +infini pour m>0.
Je n'arrive cependant pas à déterminer la limite en -1.
J'ai également du mal à montrer que fm est dérivable sur son ensemble de définition D...
Pourriez-vous me donner quelques pistes ? Merci d'avance !
Limite en -1
En -1 :
ln(1+x) tend vers -oo
x.ln(1+x) tend vers +oo (ne pas oublier que x tend vers -1)
m.x.ln(1+x) tend vers +oo si m > 0, et vers -oo si m < 0
fm(x) tend vers +oo si m > 0, et vers 0 si m < 0
Sauf erreur.
Dérivabilité
Sur l'ensemble de définition,
x |--> ln(1+x) est dérivable (cours)
x |--> m.x.ln(1+x) est dérivable comme produit de fonctions dérivables
x |--> exp(m.x.ln(1+x)) est dérivable comme composée de fonctions dérivables
Merci beaucoup pour votre précision et votre rapidité de réponse, je suis impressionnée 
Les limites me paraissent justes, la dérivabilité aussi, j'avais pensé auparavant à ce type de rédaction mais cela me paraissait "trop simple".
Ils introduisent ensuite une autre fonction, gm telle que f'm = m.gm.fm
J'ai trouvé gm = ln(1+x) + x/(1+x), puis j'ai montré que g était une fonction strictement croissante (grâce au calcul de dérivée) sur D.
Ils demandent ensuite d'en déduire les variations de fm suivant m.
la dérivabilité aussi, j'avais pensé auparavant à ce type de rédaction mais cela me paraissait "trop simple".
Cela semble simple, mais cela exploite les théorèmes du cours.
(Je regarde la suite.)
Si vous avez les variations de gm, déduisez-en son signe.
Puis le signe de f'm.
Cela donnera les variations de fm.
g(0) = 0
Or g est strictement croissante sur D
d'où g<0 sur ]-1;0[
et g>0 sur ]0;+infini[
Sur ]-1;0[,
f'm positive pour m<0 (d'où fm est croissante)
f'm négative pour m>0 (d'où fm est décroissante)
et sur ]0;+infini[,
f'm négative pour m<0 (d'où fm est décroissante)
f'm positive pour m>0 (d'où fm est croissante)
Récapitulons :
Pour m<0, fm est croissante sur ]-1;0[ et décroissante sur ]0;+infini[
Pour m>0, fm est décroissante sur ]-1;0[ et croissante sur ]0;+infini[
Ai-je raison ?
J'ai vérifié et c'est bon. Merci beaucoup !
Il faut ensuite que je calcule la limite de fm(x)/x en +infini.
Je tombe sur des formes indéterminées, mais ai-je le droit de dire que, d'après le théorème des croissances comparées, exponentielle l'emporte sur
x-> 1/x ?
Pour m > 0...
Le premier facteur (la fraction) est de la forme e^X/X et tend vers +oo
Le second facteur aussi.
Donc...
Pour m<0, je trouve la forme indéterminée 0/+oo ...
Par contre pour m>0, j'ai compris, je trouve +infini, je n'avais pas pensé à cette transformation possible, merci!
Ah, je ne m'en rappelais plus, le résultat est donc 0 ?
Je dois en déduire quelquechose concernant les courbes représentatives Cm de fm.
Pour m<0, Cm admet une asymptote d'équation y=0 (l'axe des abscisses donc)
Pour m>0, je cherche la déduction que je peux faire.
Pour m>0, Cm présente une branche parabolique de direction y'Oy. C'est bien ça ?
Pour finir (après, promis, j'arrête de vous embêter! 
), je dois préciser, en fonction de m, le comportement de Cm au voisinage de -1.
D'après les limites que j'ai calculées précédemment, je trouve que si m>0, Cm admet une asymptote verticale d'équation x=-1, mais si m<0, je ne vois pas ce que je peux mettre car la courbe "s'arrête" ...
0/+oo donne 0, oui.
Le bas de la page suivante pourrait t'intéresser : http://homeomath.imingo.net/braninf.htm
C'est vrai, fm admet une limite finie en -1 alors qu'elle n'est pas définie. Etrange ... Je ne sais pas pourquoi mais j'ai vraiment du mal sur cette question 
C'est vrai, fm admet une limite finie en -1 alors qu'elle n'est pas définie
Je ne vois pas ce qui te gêne.
f(x) = (sin x)/x admet une limite finie en 0 alors qu'elle n'y est pas définie.
f(x) = x / Vx admet une limite finie en 0 alors qu'elle n'y est pas définie.
C'est vrai, excuse-moi, petit moment d'égarement de ma part.
Donc je dis que la courbe n'admet aucune d'asymptote car la fonction admet une limite finie ?
Je ne sais plus si on peut aussi parler d'asymptote verticale ou horizontale en cas de limite finie en un point.
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac