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Problème de norme

Posté par
H_aldnoer 05-11-09 à 17:39

Bonjour,

je souhaite montrer que \Large N_{\infty}(A) = max_{Z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}} \frac{ ||AZ||_{\infty}}{||Z||_{\infty}}

avec \Large A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}), \Large N_{\infty}(A)= max_{1\le i\le n} \Bigsum_{j=1}^n|a_{ij}| et \Large ||Z||_{\infty} = max_{1\le i\le n} |z_i|.

Pour l'inégalité, pas de problème. Par contre après, il faut exhiber un vecteur tel que l'on ait exactement l'égalité.
Alors j'ai pris \Large A = (a_{ij})_{i,j} de sorte que \Large a_{ij}\in\mathbb{R}^+ et \Large Z=(z_i)_i de sorte que \Large z_i=1.

Il me semble que ça marche, mais comme on est sur \Large\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) et que je prends des matrices de \Large\mathcal{M}_n(\mathbb{R}), je ne suis pas convaincu :/

Qu'en pensez-vous?
Merci!

Posté par
H_aldnoerre : Problème de norme 05-11-09 à 23:36

Posté par
oliveirore : Problème de norme 06-11-09 à 00:13

Ben non, ça marche pas, il faut que ta matrice soit quelconque dans Mn() !!!

Soit i0 tq ||A|| = j|ai0,j| ,
je note c(a) = a barre

tu prend Z = (c(ai0,j)/|ai0,j|)j, ça doit rouler ...

++

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Problème de norme 06-11-09 à 00:14

Bonsoir ;

Soit 3$\fbox{k\in\{1,..n\}} tel que 3$\fbox{\Bigsum_{j=1}^n|a_{kj}|=\max_{1\le i\le n}\;\Bigsum_{j=1}^n|a_{ij}|=N_{\infty}(A)}

pour 3$j=1..n posons 3$\fbox{z_j=\{{\frac{|a_{kj}|}{a_{kj}}\;si\;a_{kj}\neq0\\1\;sinon} il est clair que 3$\fbox{||Z=\;^t(z_1,..,z_n)||_{\infty}=1}

on vérifie facilement que pour tout 3$i\in\{1,..n\} on a 3$\fbox{|(AZ)_i|=|\Bigsum_{j=1}^na_{ij}z_j|\le\Bigsum_{j=1}^n|a_{ij}|\le\Bigsum_{j=1}^n|a_{kj}|={|(AZ)_k|}

et donc que 4$\fbox{\frac{||AZ||_{\infty}}{||Z||_{\infty}}=||AZ||_{\infty}=|(AZ)_k|=\Bigsum_{j=1}^n|a_{kj}|=N_{\infty}(A)} sauf erreur bien entendu

Posté par
H_aldnoerre : Problème de norme 06-11-09 à 13:51

Bonjour,

j'ai bien compris le principe, mais pas le raisonnement de elhor, qui va très vite! Précisément je ne saisi pas pourquoi il dit "et donc que \Large ||AZ||_{\infty}=|(AZ)_k|". Pour moi, il a prouvé que \Large \forall i\in\{1,\cdots,n\},\,\,\Large |(AZ)_i|\le |(AZ)_k| et donc \Large ||AZ||_{\infty}\le |(AZ)_k| en passant au max sur i dans l'inégalité. Mais d'ou provient l'inégalité inverse ?


Voila ce que j'ai fait :
On a \Large\Large N_{\infty}(A) = max_{1\le i\le n} \Bigsum_{j=1}^n|a_{ij}|=\Bigsum_{j=1}^n|a_{kj}| pour un certain \Large k\in \{1,\cdots,n\}.

On veut \Large\frac{||AZ||_{\infty}}{||Z||_{\infty}} = \Large N_{\infty}(A), pour un certain \Large Z.

Soit \Large\frac{||AZ||_{\infty}}{||Z||_{\infty}} = \Bigsum_{j=1}^n|a_{kj}| qui est équivalent à \Large ||AZ||_{\infty} = \Bigsum_{j=1}^n|a_{kj}| et \Large ||Z||_{\infty}=1.

On a \Large AZ = (\Bigsum_{j=1}^na_{ij}z_j)_{1\le i\le n} et donc \Large ||AZ||_{\infty} = max_{1\le i\le n} |\Bigsum_{j=1}^na_{ij}z_j|.

On veut donc \Large max_{1\le i\le n} |\Bigsum_{j=1}^na_{ij}z_j| = \Bigsum_{j=1}^n|a_{kj}| et \Large ||Z||_{\infty}=1.

On pose \Large z_j = \{ \frac{|a_{kj}|}{a_{kj}}\, si \, a_{kj}\neq 0\\1\, sinon alors clairement \Large ||Z||_{\infty} = 1.

Si \Large a_{kj}=0 alors \Large z_j=1 et \Large max_{1\le i\le n} |\Bigsum_{j=1}^na_{ij}z_j| = max_{1\le i\le n} |\Bigsum_{j=1}^na_{ij}| = \Bigsum_{j=1}^n|a_{kj}|.

Si \Large a_{kj}\neq 0 alors \Large z_j=\frac{|a_{kj}|}{a_{kj}} et \Large max_{1\le i\le n} |\Bigsum_{j=1}^na_{ij}z_j| = max_{1\le i\le n} |\Bigsum_{j=1}^na_{ij}\frac{|a_{kj}|}{a_{kj}}| = max_{1\le k\le n} |\Bigsum_{j=1}^na_{kj}\frac{|a_{kj}|}{a_{kj}}| = \Bigsum_{j=1}^n|a_{kj}|

Je ne suis pas sûr de la fin quand j'ai dit que le max sur i était la même chose que le max sur j.
Qu'en pensez-vous?


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