Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

probleme de norme d'une application linéaire

Posté par
robby3 23-01-09 à 21:23

Bonsoir tout le monde,
j'ai un petit probleme pour cloturer un exo.

Soit 6$ E=C([0,\pi]) muni de 6$ ||f||_{\infty}=sup_{x\in[0,\pi]}|f(x)|


Soit 6$ \phi \in E et soit 6$ T:E\longrightarrow \mathbb{R} définie par:

6$ T(f)=\Bigint_0^{\pi} f(x)\phi(x) dx

j'ai montrer que 6$ T est linéaire et continue et que 6$ ||T||\le \Bigint_0^{\pi}|\phi(x)|dx assez facilement.

je voudrais en fait montrer que 6$ ||T||=\Bigint_0^{\pi} |\phi(x)|dx
pour cela, je voudrais montrer proprement cette proposition:

6$ \forall \epsilon>0,\exists f\in E tel que 6$ |\Bigint_0^{\pi} f(x)\phi(x)dx-\Bigint_0^{\pi} |\phi(x)|dx|\le \epsilon \\


dans le but d'avoir 6$ ||T||\ge \Bigint_0^{\pi}|\phi(x)|dx-\epsilon (et ceci pour tout 6$ \epsilon >0, d'ou la conclusion)

Si vous voyez comment faire,je suis prenant!

Posté par
H_aldnoerre : probleme de norme d'une application linéaire 23-01-09 à 21:35

Salut,

mais dans ce genre d'exercice c'est toujours la même chose!

On veut \Large ||T|| = \Bigint_{0}^{\pi}|\phi(x)| dx. Alors on montre \Large ||T|| \le \Bigint_{0}^{\pi}|\phi(x)| dx puis on exhibe un vecteur pour lequel on a exactement l'égalité. Ici avec la fonction \Large f\equiv 1, il me semble que cela fonctionne.

Sauf erreur!

Posté par
robby3re : probleme de norme d'une application linéaire 23-01-09 à 21:40

bien, merci!

Posté par
robby3re : probleme de norme d'une application linéaire 23-01-09 à 21:41

encore une question:

si tu prend \phi(x)=cos(x) \\
tu trouves bien 0?

Posté par
H_aldnoerre : probleme de norme d'une application linéaire 23-01-09 à 21:47

Non, je me suis planté! Ca va pas, car avec \Large f\equiv 1, on a \Large T(f)=\Bigint_0^{\pi} \phi(x) dx!

Donc si \Large \phi n'est pas positive, ca ne vas pas aller car \Large \Bigint_0^{\pi} \phi(x) dx=\Bigint_0^{\pi} |\phi(x)| dx que si \Large \phi est à valeur positive.

Sinon, comme par exemple avec le cosinus qui oscille, on a pas le choix !!

Posté par
robby3re : probleme de norme d'une application linéaire 23-01-09 à 21:49

donc il faut montrer ma proposition...en fait pour le cas positif ok,mais comme je te le dit, pour le cas d'un truc oscillant, sans signe constant en faite...faut utiliser ce que je dis...
c'est pourquoi je voulais faire d'une pierre deux coups

Posté par
H_aldnoerre : probleme de norme d'une application linéaire 23-01-09 à 21:49

Il va falloir y aller à coup de epsilon je sens, mais la je suis trop éclaté!!

Posté par
H_aldnoerre : probleme de norme d'une application linéaire 23-01-09 à 21:50

Ouais, désolé, je me suis emballé!!

Posté par
robby3re : probleme de norme d'une application linéaire 23-01-09 à 21:50

ce que je trouve suspect,c'est que justement pour le cosinus,je trouve 0 à la norme(en supposant ma propriété vérifiée) mais donc j'ai ||T||=0 ce qui devrait faire dire que T=0...c'est bizarre non?

Posté par
H_aldnoerre : probleme de norme d'une application linéaire 23-01-09 à 21:53

Par exemple avec le \Large \phi=cos, il te faut exhiber un vecteur \Large f telle que \Large ||T||=\Bigint_0^{\pi}|cos(x)|dx.

Rapidement, j'avais pensé à dire \Large f=1 \,ou \,-1 selon que le cosinus soit positif ou négatif. Mais il risque d'y avoir un problème de non continuité en ces points...

Posté par
H_aldnoerre : probleme de norme d'une application linéaire 23-01-09 à 21:54

Comment tu fais pour trouver 0 ?

Posté par
robby3re : probleme de norme d'une application linéaire 23-01-09 à 21:54

comment ça probleme de continuité?

Posté par
robby3re : probleme de norme d'une application linéaire 23-01-09 à 21:56

non en fait ça fait 2.

ok,bref, il faut que j'arrive à justifier ma propriété!

Posté par
H_aldnoerre : probleme de norme d'une application linéaire 23-01-09 à 21:58

Sur \Large [0,\pi] le cosinus il s'annule qu'une seule fois en faite! Il est positif sur \Large [0,\frac{\pi}{2}[ et négatif sur \Large [\frac{\pi}{2},\pi[ donc on peut compenser par une fonction \Large f qui vaut 1 si \Large x\in [0,\frac{\pi}{2}[ et -1 sinon. Mais alors f est plus continue en \Large \frac{\pi}{2}!

Faut trouver autre chose.

Posté par
robby3re : probleme de norme d'une application linéaire 23-01-09 à 22:00

justement! pour régler ce probleme,si je montre la proposition de mon premier poste, l'affaire est réglée!
puisque j'aurais réusssie à dire que 6$ ||T||=\Bigint_0^{\pi}|\phi(x)|dx

Posté par
H_aldnoerre : probleme de norme d'une application linéaire 23-01-09 à 22:01

Oui, mais pour trouver cette fonction f, c'est pas gagner!!

Posté par
robby3re : probleme de norme d'une application linéaire 23-01-09 à 22:03

en fait puisque c'est une fonction continue,j'avais pensé à l'approcher par une fonction en escalier,tu vois?
mais bon, je sais pas bien le rédiger...
d'ou ma demande!

Posté par
H_aldnoerre : probleme de norme d'une application linéaire 23-01-09 à 22:28

Ah ouais, c'est une bonne idée!

Posté par
robby3re : probleme de norme d'une application linéaire 23-01-09 à 22:30

oué mais faut la mettre en forme proprement,sinon,ça reste jolie dans nos tetes

Posté par
H_aldnoerre : probleme de norme d'une application linéaire 23-01-09 à 22:56



C'est peut-être un truc du style \Large |\Bigint_{0}^{\pi}f(x)cos(x)dx-\Bigint_{0}^{\pi}|cos(x)|dx|\le \Bigint_{0}^{\pi}|f(x)|dx+\pi. Puis après on écrit un truc comme \Large |f(x)|=|f(x)-h(x)+h(x)| où \Large h est une fonction en escalier qui approche \Large f.

On a donc \Large |\Bigint_{0}^{\pi}f(x)cos(x)dx-\Bigint_{0}^{\pi}|cos(x)|dx|\le \Bigint_{0}^{\pi}|f(x)-h(x)|dx+\Bigint_{0}^{\pi}|h(x)|dx+\pi.

Le premier terme est petit, le second aussi, donc tu t'arranges pour retomber sur \Large \epsilon!


Bon moi je vais dormir, demain 6h !!!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : probleme de norme d'une application linéaire 23-01-09 à 23:45

Bonsoir robby3 et H_aldnoer ;

Une idée :

\fbox{1} Traiter d'abord le cas où \phi s'annule un nombre fini de fois sur [0,\pi].

\fbox{2} Approcher \phi uniformément sur [0,\pi] par des fonctions polynômiales. sauf erreur bien entendu

Posté par
robby3re : probleme de norme d'une application linéaire 24-01-09 à 00:21

Bonsoir Elhor,
H_aldnoer et Elhor,je crois qu'on sait mal compris, le cas du cosinus est un cas particulier d'une fonction de signe non constant sur [0,\pi]

je ce que je veux montrer c'est 6$||T||\ge \Bigint_0^{\pi}|\phi(x)|dx
et pour montrer cela,je veux montrer que

6$ \rm \fbox{\forall \epsilon>0,\exists f\in E tq |\Bigint_0^{\pi}f(x)\phi(x)dx-\Bigint_0^{\pi}|\phi(x)|dx|\le \epsilon}

et dans cet énoncé,je considere \phi quelconque dans E.

Ton idée Elhor,c'est de considérer d'abord le cas ou \phi s'annule un nombre finis de fois sur [0,\pi]??
je comprend pas du tout!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : probleme de norme d'une application linéaire 24-01-09 à 08:22

\fbox{1} soit a_1<..<a_p les zéros de \phi se trouvant dans ]0,\pi[

on sait que , par continuité , \phi garde un signe constant sur les intervalles ]0,a_1[ , ]a_1,a_2[ , ... ,]a_{p-1},a_p[ et ]a_p,\pi[

pour n assez grand considèrons la suite (f_n) d'éléments de E définie par :

f_n=\frac{\phi}{|\phi|} sur les intervalles ]0,a_1-\frac{1}{n} [ , ]a_1+\frac{1}{n},a_2-\frac{1}{n}[ , ... , ]a_{p-1}+\frac{1}{n},a_p-\frac{1}{n}[\;et\;]a_p+\frac{1}{n},\pi[

f_n affine sur le reste

alors 3$\blue\fbox{\int_0^\pi\;f_n(x)\phi(x)dx\;\displaystyle\to_{n\to+\infty}\;\int_0^\pi\;|\phi(x)|dx} sauf erreur bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : probleme de norme d'une application linéaire 24-01-09 à 20:37

je m'explique :

\fbox{*} L'expression " n assez grand " veut dire assez grand pour que les p intervalles \left([a_i-\frac{1}{n},a_i+\frac{1}{n}]\right)_{1\le i\le p} soient :

deux à deux disjoints et tous intérieurs à ]0,\pi[ condition qui se traduit par \;\fbox{\frac{1}{n}\;<\;Min\left(a_1,(a_2-a_1)/2,..,(a_p-a_{p-1})/2,\pi-a_p\right)}

je note N le plus petit entier naturel satisfaisant à cette condition.

\fbox{*} On a pour tout n\ge N , \fbox{f_n\phi=|\phi|} sur ]0,\pi[-\Bigcup_{i=1}^p[a_i-\frac{1}{n},a_i+\frac{1}{n}]

donc 3$\fbox{\int_0^\pi f_n(x)\phi(x)dx=\int_0^\pi|\phi(x)|dx-\underb{\fbox{\Bigsum_{i=1}^{p}\int_{a_i-\frac{1}{n}}^{a_i+\frac{1}{n}}f_n(x)\phi(x)dx}}_{R_n}}

et comme pour tout n\ge N , ||f_n||_\infty=1 (facile à voir) on voit que 3$\fbox{|R_n|\le\frac{2p||\phi||_\infty}{n}}

ainsi , dans le cas où l'ensemble \{a\in]0,\pi[ / \phi(a)=0\} est fini , on a construit une suite (f_n)_{n\ge N} de la sphére unité de E

telle que 2$\fbox{\lim_{n\to+\infty}T(f_n)=\int_0^\pi|\phi(x)|dx} et donc 3$\blue\fbox{\lim_{n\to+\infty}|T(f_n)|=\int_0^\pi|\phi(x)|dx} par continuité de la valeur absolue

ajouté à ce que tu as fait robby3 ceci prouve bien que 4$\red\fbox{||T||=\int_0^\pi|\phi(x)|dx}

remarque :

Si \phi n'est pas de signe constant sur [0,\pi] cette norme est non atteinte (et c'est d'ailleurs une équivalence) :

en effet (par contraposée) soit \fbox{f\in E\\||f||_\infty=1} telle que 2$\fbox{|T(f)|=\int_0^\pi|\phi(x)|dx} on a alors ,

3$\fbox{\int_0^\pi|\phi(x)|dx=\pm\int_0^\pi f(x)\phi(x)dx} ou encore 3$\fbox{ou\{{\int_0^\pi(|\phi(x)|-f(x)\phi(x))dx=0\\\int_0^\pi(|\phi(x)|+f(x)\phi(x))dx=0}

et comme dans les deux cas les fonctions intégrées sont continues positives , cela donne 3$\blue\fbox{f\phi=-|\phi|\;ou\;f\phi=+|\phi|}

et donc \phi est de signe constant sur [0,\pi]

car si \phi s'annulait en changeant de signe en un certain a\in]0,\pi[ on aurait 2$\red\fbox{\lim_{a^-}f\neq\lim_{a^+}f} sauf erreur bien entendu

je ferai un autre post , si c'est nécessaire , pour le \fbox{2}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : probleme de norme d'une application linéaire 25-01-09 à 13:31

\fbox{2} On se place maintenant dans le cas général (on n'a que la continuité de \phi)

pour \varepsilon>0 soit P\in E une fonction polynômiale telle que 3$\blue\fbox{||\phi-P||_\infty\le\frac{\varepsilon}{4\pi}}

comme P s'annule un nombre fini de fois sur [0,\pi] le \fbox{1} s'applique

et on a l'existence de \fbox{f\in E\\||f||_\infty=1} vérifiant 2$\fbox{\left|\int_0^\pi f(x)P(x)dx\right|\ge\int_0^\pi\left|P(x)\right|dx-\frac{\varepsilon}{2}} et il suffit d'écrire :

2$\fbox{\left|T(f)\right|=\left|\int_0^\pi f(x)\phi(x)dx\right|\ge\left|\int_0^\pi f(x)P(x)dx\right|-\left|\int_0^\pi f(x)\left(\phi(x)-P(x)\right)dx\right|\ge\left|\int_0^\pi f(x)P(x)dx\right|-\int_0^\pi\left|\phi(x)-P(x)\right|dx\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ge\int_0^\pi\left|P(x)\right|dx-\frac{\varepsilon}{2}-\frac{\varepsilon}{4}\ge\int_0^\pi\left|\phi(x)\right|dx-\int_0^\pi\left|\phi(x)-P(x)\right|dx-\frac{\varepsilon}{2}-\frac{\varepsilon}{4}\ge\int_0^\pi\left|\phi(x)\right|dx-\varepsilon}

ce qui prouve bien le résultat 3$\red\fbox{||T||=\int_0^\pi\left|\phi(x)\right|dx} sauf erreur bien entendu

remarque : le résultat de l'encadré bleu est connu sous le nom du théorème de Stone-Weierstrass.

Posté par
robby3re : probleme de norme d'une application linéaire 28-01-09 à 13:17

Enorme!
Merci Elhor!
(j'ai déjà rendu mon dm, mais je garde ce topic dans mes favoris!)
un grand merci!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : probleme de norme d'une application linéaire 28-01-09 à 13:35

C'est un plaisir robby3

Posté par
robby3re : probleme de norme d'une application linéaire 28-01-09 à 21:53

euhh, est-on sur que \phi s'annule un nombre fini de fois?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : probleme de norme d'une application linéaire 28-01-09 à 22:26

Qu'est ce qui te pose problème robby3

Posté par
robby3re : probleme de norme d'une application linéaire 28-01-09 à 22:28

non en fait c'est bon!
merci!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : probleme de norme d'une application linéaire 28-01-09 à 23:58

Tu es sûr robby3 ?

Posté par
robby3re : probleme de norme d'une application linéaire 29-01-09 à 16:27

tu me met le doute Elhor

on est sur que \phi s'annule un nombre fini de fois?
(par continuité?)


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !