bonsoir joe_bes

I est milieu de AC donc :

MI=1/2(MA+MC)   ; en écriture vectorielle.

BD=MD-MB  ; chasles

donc MI.BD=1/2(MA+MC).MD-MB    ; produit scalaire.
          = 1/2MA.MD-1/2MA.MB+1/2MC.MD-1/2MC.MB

comme AB est perpendiculaire à CD et qu'elle coupe en M

donc MA.MD=0 et MC.MB=0

donc
MI.BD= -1/2MA.MB+1/2MC.MD

comme M,A et B sont alignés donc
MA.MB=ma(MA).ma(MB)  ; ma(XY) désigne la mesure algébrique du vecteur XY.
de même MC.MD=ma(MC).ma(MD)

donc

MI.BD= 1/2( - MA.MB+ MC.MD)
     = 1/2(ma(MA).ma(MB) - ma(MC).ma(MD))

condisérez maintenant les deux triangles MAC et MBD.
Ces deux triangles ont chacun un angle droit et leurs deux angles ACM et BDM sont égaux car ils sous-tendent le même arc arc(AD).

donc MAC et MBD sont semblables et l'on peut écrire:

ma(MD)/ma(MA) = ma(MB)/ma(MC)

donc ma(MD).ma(MC)=ma(MA).ma(MB)


donc

MI.BD=1/2(ma(MA).ma(MB) - ma(MC).ma(MD))=0  CQFD

voila bon courage