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Problème de produit scalaire
Bonjour, j'ai un DM à rendre dans peu de temps, je voudrais que vous m'aidiez pour cet exercice car je le trouve asse dur.
les vecteurs u et v sont non nuls.
1/a/ Justifier l'égalité :
(u + v) .(u - v) = ||u||² - ||v||²
b/ ABCD est un parallélogramme tel que le vecteur AB = vecteur u et le vecteur AD = vecteur v.
Déduire de la question précédente que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
- ABCD a 2 côtés consécutifs de même longueur.
- ABCD a ses diagonales perpendiculaires.
c/ Que dire d'un parrallélogramme vérifiant P1 et P2 ?
2/a/ justifier l'égalité de vecteur suivante :
||u + v||² - ||u - v||² = 4u.v
b/ ABCD est un parrallèlogramme tel que le vecteur AB = vecteur u et le vecteur AD = vecteur v. En déduire une proposition P'2 équivalente à la proposition P'1 : ABCD a deux côtés consécutifs orthogonaux.
c/Que dire d'un parralèlogramme vérifiant P'1 et P'2.
a)Le produit scalaire est une forme bilinéaire, tu peux donc le développer et tu obtiendras bien l'égalité demandée.
b)ABCD a côtés consécutifs de même longueur <=> ||u||=||v||
Et les vecteurs u+v et u-v représentent les diagonales
c)P1 et P2 c'est quoi ?
2)a)||u+v||²-||u-v||²=(u+v).(u+v)-(u-v).(u-v)
=4uv
Ton parallélogramme est donc un losange
2)b) uv=0
Donc les diagonales ont même longeur.
c)C'est un rectangle
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