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Probleme de recurrence

Posté par
Spawn974 28-11-09 à 20:08

Bonjour a tous , je dois démontrer par récurrence cette relation 2!4!...(2n)! > (ou égal) a ((n+1)!)n pour n>0

Au niveau de l'initialisation je commence par n = 1
La propriété est vérifiée  

Pour l'hérédité , après avoir admis au rang n et n+1

Au rang n+2 , j'obtiens la relation ceci :

2!4!...(2n+4) > (ou égal) ((n+3)!)n+2

Apres je ne sais pas ce que je dois trouver, si quelqu'un  pourrait m'aider merci d'avance

Posté par
cailloux Correcteurre : Probleme de recurrence 28-11-09 à 21:44

Bonsoir,

L' hypothèse de récurrence:

2!4!\cdots (2n)!\geq [(n+1)!]^n

2!4!\cdots (2n)!(2n+2)!\geq [(n+1)!]^n(2n+2)! (avec l' hypoyhèse de récurrence).

2!4!\cdots (2n)!(2n+2)!\geq [(n+1)!]^{n+1}\underbrace{(2n+2)(2n+1)\cdots (n+2)}_{n+1\text{ termes}}

2!4!\cdots (2n)!(2n+2)!\geq [(n+1)!]^{n+1} (n+2)^{n+1}

2!4!\cdots (2n)!(2n+2)!\geq [(n+2)!]^{n+1}

Posté par
Spawn974re : Probleme de recurrence 29-11-09 à 07:41

Merci beaucoup =) , donc il faut que je fasse l'hérédité au rang n+1 alors xD =)
par contre il je ne comprend pas comment on passe de ((n+1)!)^n a((n+1)!)^n+1, on récupère un terme dans (2n+2)! ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Probleme de recurrence 29-11-09 à 09:58

Re,

Citation :
je ne comprend pas comment on passe de ((n+1)!)^n a((n+1)!)^n+1, on récupère un terme dans (2n+2)! ?


Oui:

[(n+1)!]^n(2n+2)!=[(n+1)!]^n(2n+2)(2n+1)\cdots (n+2)(n+1)!=[(n+1)!]^{n+1}(2n+2)(2n+1)\cdots (n+2)

Posté par
Spawn974re : Probleme de recurrence 29-11-09 à 10:42

Merci beaucoup =)


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