Bonjour,
inf et sup sur quoi ?

la question est posée comme ça :
trouver : Inf{sup{|sin(an)| / n∈Z}/ 0 < a < pi}

Bonjour, adil

Il faut donc déterminer    

Pour cela, il y a trois cas à considérer:

1)     est irrationnel

2)     avec  p et q entiers premiers entre eux et q pair

3)     avec  p et q entiers premiers entre eux et q impair

salut,
pour le 1er cas ,c un peu difficile
pourriez-vous me donner des indications ?!!
merci d'avance

Le mieux est de commencer par étudier le deuxième cas (qui est le plus facile)

Il me semble (sans y avoir beaucoup réflèchi,, s'il n'y a pas de piège)...

= 1 si n'est pas rationnel


comment voit-on cela?.

en traçant le cercle trigo et en commençant à dessiner une étoile......

et pour les autres quel est le polygone régulier (ou l'étoile à k branches) qui monte le moins haut?
ce serait le triangle équilatéral.....

donc si le sup serait

à mon avis c'est cela la réponse.....:


Mais je peux me planter complètement....
et pour expliquer tout ça, ce n'est pas facile....

Je ne sais pas si j'ai été clair....

on trace le cercle trigo...
on place le point correspondant à un angle de 0
et on place ensuite le point correspondant à alpha....
puis à 2 alpha etc......

on a ainsi un polygone à un certain nombre de côtés (peut-être un nombre infini infini dans le cas où.....)

quand le nombre de côtés est fini (cas où......)
alors on a un polygone régulier dont un sommet est le point correspondant à un angle de zéro....
et le SUP correspond au point le plus haut (d'ordonnée maximale)....

Quand le nombre de coté n'est pas fini, l'ensemble des sommets est dense sur le cercle.....

voila pour débuter la rédaction..... et il vaut mieux faire des schémas pour expliquer.....

slt,
la methode géométrique est géniale mais moins précise
je veux une solution analytique,stp !!

Bonjour.

Ca a déjà été posté, fais une recherche

Bonsoir otto, et ravi de vous revoir perroquet

ici : Borne inférieure de bornes supérieures...

En fait, il suffit de "suivre la méthode géométrique"
voila un petit schéma de la manière de faire:

si a est irrationnel, en utilisant le fait que R est archimèdien, on montre que pour tout € , il existe n tel que < na <

donc limite sup (sin na) = 1

si a = m/p

on montre grâce à Bezout qu'il existe dans la suite (n a) un élèment de la forme modulo
si p est pair, on a même un terme egal à modulo
si p est impair, p=2m+1 on fait l'étude de la courbe (y=sin x) et on voit que le maximum de la suite (sin na) est atteint pour la valeur de na modulo la plus proche de

soit le maximum atteint pour n=m...... ou n= m+1
ce qui donne  sin

et le minimum pour les valeurs de m est atteint quand m=1 pour a=