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problème géométrique: coniques
Bonjour à tous, je voulais vous faire d'un problème sur les coniques qui doit surement être classique, mais que je trouve assez ardu
Il s'agit du "lieu des points d'où l'on voit une ellipse sous un angle droit."
Énoncé:
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O,i,j) on considère l'éllipse E d'équation (x²/a²)+(y²/b²)=1 avec 0<a<b.
M0 est le point du plan de coordonnées (X0,Y0).
1° Démontrer que la droite D passant par M0 de cefficient directeur m coupe E en un unique point si et seulement si m est solution de l'équation (a²-X0²)m²+2X0Y0m+b²-Y0²=0
Donc je pense qu'il faut utiliser la tangente à E passant par M0.
Mais je ne vois pas du tout comment retrouvé l'équation proposée?
Bonjour
lieu des points d'où l'on voit une ellipse sous un angle droit = le lieu tel que les tangentes sont perpendiculaires
*
la droite y = m(x- X0) + Y0 coupe E en un unique point ( = tangente) ssi l'équation (x²/a²)+(y²/b²)=1 dans laquelle on remplace y par m(x- X0) + Y0 ( dite équation aux abscisses des points d'intersection de la droite avec l'ellipse) admet 1 discriminant ( delta) nul ( les calculs sont laborieux)
*
liaison avec ce qui suit 
le p qui suit = Y0-mX0
*
une autre méthode semblable ( moins laborieuse) de même la droite y = mx + p est tangente à (x²/a²)+(y²/b²)=1 ssi le delta de (x²/a²)+(y²/b²)=1 dans la quelle on remplace y = par mx + p c-à-d le delta de x²/a² + (mx+p)²/b² = 1 doit être nul => a4p²m² - a²b²p² - a4m²p² + a²b4 + a4b²m² = 0 => -p² + b² + a²m² = 0 => p = 
(a²m²+b²) ou [ - (a²m²+b²)]
et l'équation d'une tangente de direction m est y = mx + (a²m²+b²) (*)
l'autre est y = mx - (a²m²+b²)
*
celle qui est perpendiculaire à la 1ère ( on remplace m par -1/m dans (*) ) a pour équation
y = -x/m + (a²/m²+b²) (**)
on élimine m entre y-mx = (a²m²+b²) (*)
et my+x = (a²+b²m²) (**)
en élevant au carré et en additionnant =>
(y-mx)² + (my+x)² = a²m² + b² + a² + m²b² =>
(1+m²)(x²+y²) = (a²+b²)(1+m²) =>
x² + y² = a² + b²
qui est un cercle et s'appelle cercle de MONGE
A+
donc si j'ai bien compris je dois remplacer y dans l'équation de l'ellipse par y = m(x-X0) + Y0
et le discriminant "en m ?" de cette équation devrait être 0
mais à quoi correspond l'équation en m de la question?
Re
oui c'est bien cela
à quoi correspond l'équation en m
elle donne les pentes des tangentes à l'ellipse qui passent par (X 0[sub];Y0[/sub])
En exprimant que ces pentes sont perpendiculaires ( le produit = -1 ; le c/a = -1) tu auras le lieu en X 0[sub];Y0[/sub]
A+
A+
Re
Voilà en détails : calculs laborieux
Annulons le discriminant ( équation en x ) de (x²/a²)+(y²/b²)=1 dans laquelle on remplace y par m(x- Xo) + Yo =>
b².x² + a².[m.(x-Xo)+Yo]² = a²b² =>
b².x² + a²(m.x + (Yo - m.Xo))² - a²b² = 0
b².x² + a².m².x² + 2.a².m.x(Yo - m.Xo) + a².(Yo - m.Xo)² = a²b² =>
(b² + a².m²).x² + 2.a².m.(Yo - m.Xo).x + a².(Yo - m.Xo)²- a²b² = 0 =>
*
discriminant nul =>
4.{(a².a².m².(Yo - m.Xo)² - (b²+ a².m²).[a².(Yo - m.Xo)² - a².b²]} = 0 =>
a².{a².m².(Yo - m.Xo)² - (b² + a².m²)[(Yo - m.Xo)² - b²]} = 0 =>
a².m².(Yo - m.Xo)² - (b² + a².m²)(Yo - m.Xo)² + (b² + a².m²).b² = 0 =>
(a².m² - b² - a².m²)(Yo - m.Xo)² + (b² + a².m²).b² = 0 =>
-b².(Yo - m.Xo)² - b².(b² + a².m²) = 0 =>
(b² + a².m²) - (Yo - m.Xo)²= 0 =>
b² + a².m² - Yo² + 2.m.Xo.Yo - m².Xo² = 0
(a² - Xo²).m² + 2.m.Xo.Yo + b² - Yo² = 0 (*) qui est la réponse indiquée
l'astuce pour alléger les calculs était de laisser comme 1 bloc (Yo - m.Xo) et de ne pas developper (Yo - m.Xo)² sauf à la fin .
pour avoir le lieu en Xo, Yo il suffit de dire que le produit des pentes des tangentes = -1 ( droites perpendiculaires) c-à-d le c/a de (*) = -1 c-à-d
(b² - Yo²)/(a² - Xo²) = -1 =>
b² - Yo² = -a² + Xo² =>
Xo² + Yo² = a² + b² et en (x,y) on a
x² + y² = a² + b² qui est 1 cercle dit cercle de MONGE
A=
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