* Calcul de AM.
AB²+AC²=2AM²+BC²/2 (théorème de la médiane).
* Calcul de HM.
AB²-AC²=2BC.HM (connu, démontré, à démontrer ?)

salut
pythagore dans CAH et BAH te donnera CH, AH et BH
ensuite pythagore dans MAH....

Considère d'abord le triangle ABC, et ses deux sous-triangles rectangles ACH et ABH. Dans chaque triangle tu peux écrire le théorème de Pythagore, et entre les deux relations tu pourras éliminer AH :
Dans ACH : AH^2 + HC^2 = AC^2 = 9
Dans AHB : AH^2 + HB^2 = AB^2 = 16
Et donc, par différence :
HB^2 - HC^2 = 16-9
(HB - HC).(HB + HC) = 7
Or HB + HC = BC = 6, donc :
HB - HC = 7/6
Et tu as donc un système de deux équations à deux inconnues, dont une seule t'intéresse, c'est HB (puisque tu connais MB, tu pourras en déduire HM) :
HB + HC = 6
HB - HC = 7/6
D'où, en faisant la somme des deux :
2.HB = 6 + 7/6 = 43/6
HB = 43/12
Or HB = HM + MB = HM + 6/2 = HM + 3
Donc
HM + 3 = 43/12
HM = 43/12 - 3 = (43-36)/12
HM = 7/12
A vérifier, et il y a peut-être  plus simple !

ciocciu je ne comprend pas phythagore car tu ne connais qu'une seule longueur
En outre Dasson j'espère que ce théorème de la médiane est facilement démontrable car je ne l'ai pas encore étudié...
et je ne comprends pas ta deuxième ligne car je ne vois pas ce que les produits scalaires viennent faire ici...
Merci d'avance...

oui mais si tu exprimes pythagore dans les deux triangles donnés tu pourras à l'aide des deux équation éliminer une des inconnus
regardes
16=AH²+BH²
9=AH²+CH²
donc si tu fais la différenbce des deux
7=BH²-CH²=(BH+CH)(BH-CH) or BH+CH=BC=6 donc BH=6-CH et donc en remplaçant
7=6(BH-CH)=> 7=6(6-2CH) donc CH=...donc BH=...et donc AH²=...et AH=....
et voilà

Bonsoir
Avec le second théorème de la médiane cela suffit pour HM = 7/12
En voici la  démonstration toute simple à partir du produit scalaire.
AB²-AC² = (AM+MB)² - (AM+MC)² = AM²+2AM.MB+MB² - AM²-2AM.MC-MC² = 2AM.(MB-MC) = 2AM.CB = 2MA.BC = 2BC.MA = 2BC.MH  la projection de MA sur BC étant égal à MH.

A plus  geo3  

Et bien merci bocou a vous pour cette réponse majeure!

Une autre présentation.

Calcul vectoriel :
AB²-AC²=(AB+AC)(AB-AC)=2AM.CB
Or AM.CB=(AH+HM)CB=AH.CB+HM.CB=HM.CB
Donc
AB²-AC²=2HM.CB (vecteurs).

D'où la relation métrique annoncée :
AB²-AC²=2BC.HM (longueurs).