Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

problème limite suite récurrente

Posté par
robby3 05-10-09 à 21:05

Bonsoir tout le monde,
voilà le soucis:

soit 5$ (x_n)_n une suite définie par

5$ \{{x_0>0\atop \forall n\in \mathbb{N},x_{n+1}=x_n+x_n^2}

on a montrer que 5$ \lim_{n\to +\infty}x_n=+\infty et que 5$ U_n=\frac{ln(x_n)}{2^n} était convergente vers une limite 5$ \alpha.
Je souhaite montrer que 5$ \alpha>0.

comment fait-on?
j'ai retourner le problème dans tout les sens...je bute.
Toute idée est la bienvenue.

Posté par
gui_toure : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 21:08

salut robby

il suffit de montrer qu'à partir d'un certain rang, xn>1 ce qui semble être le cas vu que la suite (un) tend vers +oo !

sauf erreur

Posté par
gui_toure : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 21:17

Ah oups j'avais mal compris !
Je regarde ça c'est dans mes papiers ^^

Posté par
robby3re : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 21:23

Alors Bonsoir Gui_tou.
Justement,j'y ai bien pensé:

comme 5$ \lim_{n\to+\infty}x_n=+\infty,\exists n_0\in \mathbb{N} tel que5$ \forall n\ge n_0, x_n>1
donc à partir de ce rang, 5$ ln(x_n)>0 donc de même 5$ \frac{ln(x_n)}{2^n}> 0

mais quand tu vas passer à la limite dans l'inégalité précédente,tu obtiens une inégalité large non?
donc 5$ \alpha\ge 0

si 5$ \alpha valait 0 alors ça voudrait dire que \frac{ln(x_n)}{2^n} tend vers 0 en l'infini,mais ça c'est pas absurde,il suffit juste que 2^n tende plus vite vers l'infini que ln(x_n)...donc je coince.
qu'est-ce qui va pas?

Posté par
gui_toure : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 21:29

Ouep on a une inégalité large en passant à la limite

Essaie de montrer (par récurrence) que 3$x_n>x_0^{2^n} et du coup 3$\fr{\ell n(x_n)}{2^n}>\ell n(u_0) et ça prouve que la limite est >0

Posté par
robby3re : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 21:33

c'est déjà faux pour n=0...puisque ça donne x_0>x_0...car 2^0=1 donc x_0^{2^0}=x_0^{1}=x_0...

ensuite,tu veux sans doute dire >ln(x_0) encore une fois soucis puisque x_0>0 mais peut-être est-il inférieur à 1,d'ou problème dans le ln...qui devient négatif...

Posté par
gui_toure : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 21:39

Oui enfin c'était censée être une inégalité large ^^

xn+1>xn²

essaie de faire quelque chose avec ça ... genre montrer que s'il existe k tel que uk>2 (et il existe) alors pour n>k 3$u_n>u_k^{2^{n-k} et je crois que ça sera bon

Posté par
robby3re : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 21:46

donc,je montre par récurrence,sans soucis que x_n\ge x_0^{2^n}
et aprés?
même aprés,j'ai x_n\ge x_0^{2^n}=e^{2^nln(x_0)}
donc \frac{ln(x_n)}{2^n}\ge ln(x_0) et aprés même remarque qu'à 21:33...sur x_0

Posté par
gui_toure : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 21:48

sauf que cette fois-ci on aura 3$\frac{ln(x_n)}{2^n}\ge \fr{ln(x_k)}{2^k}>0 sauf erreur

Posté par
robby3re : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 21:50

mais,sauf erreur, quand tu vas passer à la limite...encore inégalité large...

Posté par
gui_toure : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 21:54

ba nan parce que le ln(xk)/2^k il bouge pas, et il est >0 lui

Posté par
robby3re : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 22:00

ok,reste donc à montrer que \frac{ln(x_n)}{2^n}\ge ln(x_k)}{2^k}...(par ailleurs qui te dit que x_k \notin ]0,1[ ??)

pour montrer cette inégalité,faut fixer un k et faire une récurrence sur n?
autrement dit,fixé un rang n_0=k et faire une récurrence sur n...et il faut choisir ce rang n_0 tel qu'on ait bien \frac{ln(x_{n_0})}{2^{n_0}}>0 ou même sans récurrence?non?

Posté par
robby3re : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 22:10

et ce truc là,ça voudrait dire \frac{ln(x_n)}{2^n} est croissante...ce qui est loin d'être évident selon ce que tu met dans ton ln...ou alors,je divague complet.

Posté par
robby3re : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 22:14

bon,bon,Gui_tou a tenté de m'éclaircir l'esprit, mais visiblement je patauge encore...donc si jamais tu as plus de temps gui_tou,je suis preneur...

si quelqu'un d'autre voit "la" chose,je suis preneur aussi!

Posté par
jandri Correcteurre : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 22:32

Bonsoir robby3,

Une indication: en écrivant 4$x_{n+1}=x_n^2(1+\frac1{x_n}) on obtient:
4$U_{n+1}=U_n+\frac1{2^{n+1}}ln(1+\frac1{x_n}).
Puis on considère la série de terme général 4$U_{n+1}-U_n.

Posté par
robby3re : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 22:37

Bonsoir Jandri.
oui je l'ai considéré cette série...
et 5$ \Bigsum_{k=0}^{n-1}\(U_{k+1}-U_k)=U_n-U_0et cette série est convergente,c'est comme ça que j'ai montré que 5$ (U_n)_n convergeait...

Posté par
jandri Correcteurre : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 22:38

Et bien comme c'est une série à termes > 0 sa somme est aussi > 0.

Posté par
robby3re : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 22:41

mais 5$ S_n=\Bigsum_{k=0}^{n-1}\(U_{k+1}-U_k\)=U_n-U_0>0 donc 5$ \lim_{n\to +\infty}U_n=\lim_{n\to +\infty}S_n+U_0\ge 0

inégalité large non?

Posté par
jandri Correcteurre : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 22:42

Une précision, il ne faut pas débuter à x_0 qui n'est pas supérieur à 1 mais à un x_p>1 (qui existe car x_n tend vers l'infini).

Posté par
robby3re : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 22:45

oui,si on veut on prend 5$ S_{n,p}=\Bigsum_{k=p}^{n-1}\(U_{k+1}-U_k\)=U_n-U_p de sorte que 5$ ln(x_p)>0
le problème du passage à la limite demeure non?

Posté par
jandri Correcteurre : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 22:48

On obtient que la limite de U_n est égale à U_p+S avec U_p=\frac{ln(x_p)}{2^{p+1}}>0 et S>0.

Posté par
robby3re : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 22:53

je suis d'accord pour le Up
le soucis,c'est qu'on a une somme partielle Sn à termes positifs,(strictement) donc Sn>0 mais quand tu passes à la limité cette inégalité devient large non??

Posté par
jandri Correcteurre : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 22:54

Non car tous les termes sont > 0.

Posté par
robby3re : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 23:04

humm
ça veut dire que si j'ai une série à termes strictement positif,et que cette série converge,la limite est >0 ?

Posté par
jandri Correcteurre : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 23:08

Bien sûr! Si la somme était nulle, cela entrainerait que tous les termes sont nuls.

Posté par
robby3re : problème limite suite récurrente 05-10-09 à 23:14

ok,bon,bah je suis pas prés de l'oublier ça,vu comment j'ai retourné le truc 36 fois dans ma tête...
Merci Jandri.
et merci à Gui_tou aussi.
Bonne fin de soirée.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !