bon biensur j'ai des problèmes pour vous montrer les matrices ..
au cas où vous n'auriez pas compris : la matrice A : (8  1)            
                                                     (2  9)

j'ai montré que :
(an+1) = A * (an)
(bn+1)       (bn)


et je dois montrer que :

(an+1) = A^n+1 * (a0)
                 (b0)

décidément cela ne s'affiche pas comme je veux..

A : 8 1 2 9

je dois montrer que

(an+1) = A^n+1 * (a0)
(bn+1)                (b0)

Bonsoir,

Si on appelle C_n le vecteur de coordonnées (a_n; b_n) pour éviter les problèmes d'écriture, ton hypothèse de récurrence s'écrit:

C_n=AC₀

Or C_n+1=AC_n

Donc C_n+1=AAⁿC_n

C_n+1=Aⁿ⁺¹C₀

bonsoir,
bien vu,

mais C_n+1 = A*Aⁿ⁺¹ * Cn   C_n+1 = A*A_n+1*A*C₀ C_n+1= A * Aⁿ⁺² * C₀  non ?

Non, C_n+1=AC_n d'après ton énoncé.

En revanche, dans l'hypothèse de récurrence pour ton hérédité, j'ai oublié un exposant.

Lire C_n=AⁿC₀ en lieu et place de C_n=AC₀

je n'ai du tout compris ton calcul ..

je sais que Cn+1 = A*Cn

mon hypothèse de récurrence est Cn = Aⁿ * C0

et je dois donc montrer que Cn+1 = Aⁿ⁺¹ * C0

a ok c'est ce que je me disais

en fait je n'ai pas compris comment tu passes de

ah ok j'ai compris !

c'est bon

mais il me reste un petit flou car je suis débutant en ce qui concerne les matrices ... je sais que Aⁿ * A = Aⁿ⁺¹ mais est ce que A * Aⁿ = Aⁿ⁺¹ aussi ? merci

Ton hypothèse de récurrence est C_n=AⁿC₀

Et on sait que C_n+1=AC_n

Maintenant on remplace C_n par AⁿC₀...

On va donc trouver C_n+1=AAⁿC₀

Et comme AAⁿ=Aⁿ⁺¹...

Oui c'est pareil, pour ta dernière question, car A et Aⁿ commutent.

d'accord , merci beaucoup ! j'ai presque honte tellement que c'était simple finalement

j'ai un autre problème sur une autre récurrence, j'aimerais ton aide si ça te dérange pas :

j'ai ensuite une matrice P = ( 1  1  ; -1   2)

j'ai montré que P^-1 = 1/3 ( 2 -1 ; 1  1)

j'ai ensuite calculé le produit matriciel de B = 1/3 (1 1 ; -1 2) * (7 0 ; 0 10) * (2 -1 ; 1 1) et ai trouvé que B = A = (8 1 ; 2 9)

on me demande maintenant de demontrer que pour tout nombre entier naturel n non nul, Bⁿ = P(7ⁿ 0 ; 0 10ⁿ) * P^-1

et je n'y parviens toujours pas ..

C'est normal que tu aies du mal. Les matrices font cette année leur grande apparition dans le secondaire!

Appelons D ta matrice diagonale (7 0; 0 10)

Tu as dû voir en cours que pour tout n, Dⁿ=(7ⁿ 0; 0 10ⁿ)

Initialisation pour n=1: tu as montré que B=PDP^-1

Hérédité: Supposons qu'au rang n, Bⁿ=PDⁿP^-1

Alors, Bⁿ⁺¹=PDP^-1PDⁿP^-1

Essaie maintenant de simplifier tout ça avec la définition de l'inverse d'une matrice: PP^-1=I₂ où I₂ représente la matrice identité d'ordre 2 (c'est à dire celle qui n'a que des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs).

Ou encore P^-1P=I₂ ce qui te sera plus utile ici.

Bⁿ⁺¹=PDP_-1PDⁿP^-1 = PDⁿ⁺¹P^-1 = P (7ⁿ⁺¹ 0 ; 0 10ⁿ⁺¹P^-1 c.q.f.d
je crois que c'est ça, n'estce pas ?

Oui, c'est ça.

Bⁿ⁺¹=PDI₂DⁿP^-1=PDDⁿP^-1=PDⁿ⁺¹P^-1

super, merci

et enfin un dernier truc :

on me demande maintenant de déduire a_n et b_n en fonction de n, de quoi il faut que je me serve en fait ?

Du fait que A=B tout simplement.

Et comme tu as appris à calculer Bⁿ, tu vas trouver Aⁿ puis comme C_n=AⁿC₀...

ah ok !
je trouve donc à la fin a_n= 7ⁿ+10ⁿ et b_n=7ⁿ+2*10ⁿ
ma calculette a l'air de me dire que c'est juste

merci beaucoup

De rien. Je n'ai pas vérifié tes calculs, mais si ta calculette l'a fait...