Niveau terminale

Problème relation/equation cosinus

Posté par kingjames (invité) 21-10-07 à 19:34

Voila, je bloque sur cet exercice:
soit t=cos(pi/5)

démontrer que t est solution de l'equation 4x^2-2x-1=0

Posté par re : Problème relation/equation cosinus 23-10-07 à 15:45

Bonjour,

Soit $z=e^{\frac{2i\pi}{5}}$

On a: $(1+z+z^2+z^3+z^4)(1-z)=1-z^5=0$

On en déduit $Z=1+z+z^2+z^3+z^4=0$ car $z\not=1$

d' où $Re(Z)=1+cos\,\frac{2\pi}{5}+cos\,\frac{4\pi}{5}+cos\,\frac{6\pi}{5}+cos\,\frac{8\pi}{5}=0$

ou bien: $1+cos\,\frac{2\pi}{5}-cos\,\frac{\pi}{5}-cos\,\frac{\pi}{5}+cos\,\frac{2\pi}{5}=0$

soit: $2cos\,\frac{2\pi}{5}-2cos\,\frac{\pi}{5}+1=0$

$4cos^2\,\frac{\pi}{5}-2-2cos\,\frac{\pi}{5}+1=0$

et: $4 cos^2\,\frac{\pi}{5}-2cos\,\frac{\pi}{5}-1=0$

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