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problème suite/série définies par récurrence

Posté par
robby3 03-10-09 à 11:04

Bonjour tout le monde,
je bute sur un problème d'apparence pas insurmontable mais visiblement,je coince.

Soit 5$ \(U_n\)_{n\ge 0} la suite définie par:

5$ U_0=a avec 5$ a\in ]0,1[
5$ \fbox{U_{n+1}=U_n - U_n^2}

1)montrer que 5$ \rm \forall n\in \mathbb{N} U_n>0

2)Montrer que la suite 5$ \(U_n\)_{n\ge 0} est convergente et déterminer sa limite

3)démontrer la convergence de la série 5$ \Bigsum_{n\ge 0}U_n^2 et déterminer sa somme

4)Montrer que la série de terme générale 5$ ln\(\frac{U_{n+1}}{U_n}\) est divergente

5)En déduire la nature de la série de terme général 5$ U_n


ce que j'ai tenté de faire:
1) alors là, le mystère...je me suis dit,ça va être une simple et bête récurrence...le problème,c'est que c'est vrai pour n=0,pas de soucis, je passe à l'hérédité et là ohh surprise:

5$ U_{n+1}=U_n^2(\frac{1}{U_n}-1)
donc U_{n+1} est du signe de (\frac{1}{U_n}-1)...ce qui pose quelques soucis lorsque U_n\ge 1...il faudrait que je montre que U_n<1,mais là,je vois pas.Donc je suis passé.

2)à priori,pas de problème en admettant 1),je trouve que la limite vaut 0(en établissant le fait que U_n est définie par récurrence sous la forme U_{n+1}=f(U_n) donc puisqu'elle cv,sa limite vérifie l=f(l) càd l=0...sauf erreur)

3)j'arrive à déterminer la somme mais j'arrive pas à justifier la convergence de la série,le terme général tend bien vers 0,mais ça suffit pas,la série est bien à terme positif, mais même en voyant que 5$ \Bigsum_{n\ge 0} U_n^2=\Bigsum_{n\ge 0}( U_{n+1}-U_n); je bute.

4)ok
5)je vois pas le "en déduire"
on aura 5$ \Bigsum_{n\ge 0}U_n^2 cv et 5$ \Bigsum_{n\ge 0}ln\(U_{n+1}{U_n}\) dv, je n'arrive pas à voir l'enchainement logique du truc...


Toute idée ou suggestion est la bienvenue.
merci d'avance!

Posté par
MatheuxMatoure : problème suite/série définies par récurrence 03-10-09 à 11:16

bonjour

1) montre par récurrence que u(n) est dans ]0;1[

c'est plus simple !

Posté par
MatheuxMatoure : problème suite/série définies par récurrence 03-10-09 à 11:18

2) évident : u(n) décroit et minorée puis L=L-L²

Posté par
MatheuxMatoure : problème suite/série définies par récurrence 03-10-09 à 11:20

3) (u(n))² = u(n) - u(n+1) ... pas le contraire !

si tu sommes u² de 0 à N cela te donne ... u(0)-u(N) ... ce qui tend vers a quand N tend vers l'infini
donc la série converge vers a

Posté par
robby3re : problème suite/série définies par récurrence 03-10-09 à 11:23

Salut MatheuxMatou

1) effectivement,c'est trivial

pour 2) Un est strictement décroissante et minorée par 0 donc convergente et d'aprés mon 1er post,c'est vers 0

pour 3)
je trouve la somme égale à a en établissant le fait que
\large \Bigsum_{n\ge 0}U_n^2=\Bigsum_{n \ge 0} \(U_{n}-U_{n+1}\)

une idée pour montrer la convergence de la série?

Posté par
MatheuxMatoure : problème suite/série définies par récurrence 03-10-09 à 11:23

4 ) tu dis quoi ?

5) montre que ln(u(n+1)/u(n)) est équivalente à -u(n) en utilisant la relation de récurrence de u et la limité de u ... et ça permet de conclure

Posté par
MatheuxMatoure : problème suite/série définies par récurrence 03-10-09 à 11:25

lis post 11:20

Posté par
robby3re : problème suite/série définies par récurrence 03-10-09 à 11:26

4) je suis pas bien sûr mais j'ai écris ça:

5$ \Bigsum_{k=0}^N ln\(\frac{U_{k+1}}{U_k}\)=\Bigsum_{k=0}^N ln(U_{k+1})-ln(U_k)=ln(U_{N+1})-ln(a) et comme U_n tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini, ln(U_{N+1}) va tendre vers -\infty...non?

Posté par
MatheuxMatoure : problème suite/série définies par récurrence 03-10-09 à 11:27

oui, c'est bon pour la 4

Posté par
robby3re : problème suite/série définies par récurrence 03-10-09 à 11:28

Citation :
si tu sommes u² de 0 à N cela te donne ... u(0)-u(N) ... ce qui tend vers a quand N tend vers l'infini
donc la série converge vers a

oui,mais ça c'est que je fais pour calculer la somme...alors qu'il faudrait d'abord montrer que sa converge puis calculer la somme non?

Posté par
robby3re : problème suite/série définies par récurrence 03-10-09 à 11:28

je regarde la 5) avec ton indication.

Posté par
robby3re : problème suite/série définies par récurrence 03-10-09 à 11:30

ah oui, bon,bah c'est bon aussi pour la 5...en fait comme U_n converge vers 0 on aura ln(1-U_n)\sim -U_n au voisinage de l'infini c'est ça?

donc la série de terme général Un diverge.

Posté par
infophilere : problème suite/série définies par récurrence 03-10-09 à 12:52

oui

Posté par
robby3re : problème suite/série définies par récurrence 03-10-09 à 12:56


merci Kévin

et merci à MatheuxMatou.

Posté par
MatheuxMatoure : problème suite/série définies par récurrence 03-10-09 à 16:56

oui, pardon, j'avais du m'absenter... infophile a pris le relais (merci à lui)

ce fut un plaisir de t'aider

MM

Posté par
infophilere : problème suite/série définies par récurrence 03-10-09 à 18:43

De rien


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