bonjour, j'ai besoin d'aide svp pour un problème :

on considère la fonction f définie sur N par f(k)=0 si k est pair, et f(k)=1 si k impair.
soit n E N*, et on définit les suite (Nk) et (Uk) ainsi : N₀ = N ; U₀ = f(N₀) ;
pour tout k de N, N_k+1 = (N_k - U_k ) / 2
et U_k+1 = f(N_k+1)

1. exemples :
déterminer les suite (N_k) et (U_k) lorsque N = 27 puis lorsque N = 2¹⁰

2. cas général :
a. montrer que pour tout entier naturel k : U_k existe et appartient à {0;1} et N_k existe et appartient à N
> je pense à une récurrence mais je ne sais pas comment m'y prendre

b. montrer que pour tout entier naturel k, N_k+1 (1/2)*N_k
en déduire que la suite (Nk) est de limite nulle.

c. montrer qu'il existe un rang n₀ à partir duquel Nk est inférieur à 1/2
en déduire que pour tout entier naturel k supérieur ou égal à n₀, Nk = Uk = 0

d. montrer que pour tout entier naturel k, 2^k+1N_k+1 - 2^kN_k = -2^kU_k

en déduire en sommant de k=0 à n₀ que N = 2⁰U₀ + 2¹U₁ + ... + 2ⁿ⁰U_n0

e. montrer que la suite (Uk) ne peut pas être la suite identiquement nulle


merci