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problème utilisant la dérivation
Bonjour,
J'ai un problème à résoudre pour la rentrée :
ABCD est un carré; AB=1. C est le cercle de centre D et de rayon 1. T est un point du quart de cercle AC, distinct de A et de C.
La tangente au cercle C en T coupe le segment [AB] en M et le segment [BC] en N.
On se propose de résoudre le problème suivant : pour quelles positions de T la distance MN est-elle minimale? Pour cela on essaie d'exprimer MN en fonction d'une variable x, par exemple en posant AM = x. Mais le calcul de MN en fonction de x seul paraît impossible a priori. On introduit alors une autre variable y (on pose CN = y)en espérant que les calculs permettront d'exprimer y en fonction de x.
1- Montrez que MN2=x2+y2-2x-2y+2
Donc en utilisant Pythagore dans le triangle BMN :
MN2=BM2+BN2 =(1-x)2+(1-y)2 =x2+y2-2x-2y+2
2- Montrez que MN=x+y.
Je suis coincée là. Merci de m'aider...
bonsoir,
Le triangle DCN est rectangle en C donc
DN²=DC²+CN²=1+y²
Le triangle DTN est rectangle en T donc
TN²=DN²-DT²=1+y²-1=y²
donc TN=y
Le triangle DAM est rectangle en A donc
DM²=AM²+DA²=1+x²
Le triangle DTM est rectangle en T donc
MT²=DM²-DM²=x²+1-1=x²
donc MT=x
Or MN=MT+TN=x+y
Maintenant j'aurais besoin d'aide pour la question 3 svp!!
3- Déduisez-en que y=(1-x)/(1+x') puis que MN=(x2+1)/(x+1)
Je ne vois pas trop d'où sort le x'...
En partant de
MN2=x2+y2-2x-2y+2=(x+y)2
on arrive à ... 2xy-2x-2y+2=0
Mais je sais aps comment faire après.
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