Niveau Licence Maths 1e ann

Problèmes de sommes

Posté par
G-ri 12-11-09 à 14:59

Bonjour,

J'ai un petit problème; j'espère que vous pourrez me donner un coup de main!

Alors voilà: je n'arrive pas à passer de cette expression

$0$ $\frac{1}{k} - ln(1+\frac{1}{k})$ $\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

à celle-ci

$\Bigsum_{k=1}^{n}~(\frac{1}{k} - ln(1+\frac{1}{k}))$ $\Bigsum_{k=1}^{+\infty}~(\frac{1}{k} - ln(1+\frac{1}{k}))$ $\Bigsum_{k=1}^{n}~(\frac{1}{k} - ln(1+\frac{1}{k})) + \frac{1}{n+1}$

J'ai tout essayé mais je ne vois pas comment obtenir une somme infinie au milieu et des sommes partielles des deux autres "côtés"...

Si vous avez des idées je suis toute ouïe

Posté par re : Problèmes de sommes 12-11-09 à 15:37

Bonjour,

La première inégalité me semble évidente.
On somme des éléments positifs, donc la série est supérieure ou égale à la somme des élements de 1 à n (pourvu que la série existe)

Pour la seconde inégalité:
avec N>n
$\bigsum_{k=1}^N(\frac{1}{k}-ln(1+\frac{1}{k}))=\bigsum_{k=1}^n(\frac{1}{k}-ln(1+\frac{1}{k}))+\bigsum_{k=n+1}^N(\frac{1}{k}-ln(1+\frac{1}{k}))$

D'après ta première inégalité, on a
$\bigsum_{k=n+1}^N(\frac{1}{k}-ln(1+\frac{1}{k})) \le \bigsum_{k=n+1}^N(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}) = \frac{1}{n+1}-\frac{1}{N+1}$

En faisant tendre N vers l'infini, on obtient que
$\bigsum_{k=n+1}^{+\infty}(\frac{1}{k}-ln(1+\frac{1}{k})) \le \frac{1}{n+1}$

D'où
$\bigsum_{k=1}^{+\infty}(\frac{1}{k}-ln(1+\frac{1}{k})) \le \bigsum_{k=1}^n(\frac{1}{k}-ln(1+\frac{1}{k})) + \frac{1}{n+1}$

Ptitjean

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