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problèmes sur les polynômes du second degré

Posté par k-maro (invité) 30-10-06 à 00:21

Bonsoir,

voilà on m'a donné 2 exos sur les polynômes du second degré à résoudre pour lundi prochain, mais j'ai un peu du mal, est-ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait ?? merci beaucoup !

Exercice 1 :

Soit P(x) = x4-x3-4x2-x+1

1)a- Soit une racine de P(x) si elle existe. Montrer que 0
b- Montrer qu'un réel est racine de P(x) si et seulement si est solution de l'équation (E) :
2--4-1/+1/2

2)a- On pose u= +1/. Calculer u2.

b- Montrer que est solution de (E) si et seulement si u est solution d'une équation du second degré.
c- Déterminer u puis les racines de P(x).

Exercice 2 :

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction g définie par :
g(x)= [(2x2-5x+3)]/(3x2-7x-6)

Posté par k-maro (invité)petite erreur de ma part... 30-10-06 à 00:25

désolé j'ai oublié quelque chose !! dans la question 1)b de l'exercice 1 , c'est si et seulement si est solution de l'équation (E) :

2 - - 4 - 1/ + 1/2 = 0

encore une fois merci !!

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 01:31

Salut

Qu'as-tu fait dans tout ça ?

Pour la première question a),c'est assez simple.
Pour b), comme 4$\alpha \neq 0, tu peux diviser 4$P(\alpha)=0 par 4$\alpha^2 et tu obtients l'équation demandée.


Pour la seconde question, avec l'indication donnée et l'équation de la question 1)b), tu t'en sors facilement

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 01:32

Pour le deuxième exercice, il faut savoir que 4$\sqrt{X} est définie si 4$X \ge 0

De plus, n'oublie pas que tu ne peux pas diviser par 4$0, ce qui te donne une condition sur le dénominateur.

Voilà, bon courage !

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 01:36

Quand je dis une condition, c'est au sens général bien sûr

Posté par k-maro (invité)problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 12:31

bonjour !
Je suis vraiment désolé mais je n'ai rien fait dans l'exercice 1 car je n'ai vraiment rien compris à cet exercice ni au chapitre sur les polynômes du second degré. Ca serait très aimable de votre part si vous pouviez m'aider ! Merci beaucoup !

Posté par k-maro (invité)re : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 18:32

quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plaît ?

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 18:35

Je t'ai expliqué comment faire : lis-tu les messages ?

Posté par k-maro (invité)re : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 18:39

oui mais je n'ai pas du tout compris l'exercice 1.

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 18:41

Pour la première question, suppose que 4$\alpha=0 est racine de 4$P.

Donc 4$P(\alpha)=0

Or, que vaut égamement 4$P(\alpha) ?

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 18:51

Bon, je développe :

On suppose que 4$\alpha=0 est racine de P

Donc par définition, 4$P(\alpha=0)=0

Or, 4$P(0)=1

On a donc 1=0 ce qui est absurde.

Donc 4$\alpha=0 ne peut être racine de P

Posté par k-maro (invité)re : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 18:54

la je suis daccord, j'ai trouvé la même chose ! Mais je bloque pour la question 1)b car je ne sais pas s'il faut commencer par p() = 0 ou par l'équation (E).

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 19:03

Je te l'ai expliqué dans mon message de 01:31



-->suppose que 4$\alpha soit racine de 4$P.

Alors 4$P(\alpha)=\alpha^4-\alpha3-4\alpha^2-\alpha+1=0

Or, 4$\alpha \neq 0 donc on divise par 4$\alpha^2 et on tombe sur l'éuqation 4$(E)


--->suppose que 4$\alpha soit solution de (E) donc on a : 4$\alpha^2-\alpha-4-\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^2}=0

En mulitipliant par 4$\alpha^2, on a : 4$\alpha^4-\alpha^3-4\alpha^2-\alpha+1=0 ce qui signifie que 4$\alpha est racine de 4$P


On a donc prouvé l'équivalence

Posté par k-maro (invité)re : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 19:08

daccord merci ... jusqu'à la je suis pour la question 2.a j'ai trouvé :
u2 = 2+ 2 + 1 / 2
Mais je ne vois pas le rapport avec laquestion qui suit et donc par conséquent je ne sais pas comment procéder.

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 19:10

Oui, donc 4$u^2-2=\alpha^2-\frac{1}{\alpha^2}

et 4$-u=-\alpha-\frac{1}{\alpha}

Tu ne vois vraiment aucun rapport avec l'équation 4$(E) ?

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 19:35

Tu t'en sors k-maro ?

Posté par k-maro (invité)re : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 19:37

euh...je crois avoir mon idée mais je ne vois pas le -4. Ce ne serait pas u 2-2-u-4 = (E) ?

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 19:39



Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 19:39

tu peux encore simplifier bien sûr

Posté par k-maro (invité)re : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 19:44

u 2 - u -6 = (E)
Mais cela ne m'aide pas du tout. Je n'arrive pas du tout à résoudre la question 2)b).

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 19:45

Comment trouver u ?

Il faut résoudre l'équation 4$u^2-u-6=0

Quelles sont les solutions de cette équation ?

Posté par k-maro (invité)re : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 19:54

dsl mais je ne comprends pas du tout l'équivalence de la question 2.b) mais vraiment pas.

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 19:58

Eh bien tu l'as montré !

On a posé \fbox{4$u=\alpha+\frac{1}{\alpha}}

Donc 4$\alpha est solution de 4$(E) (c'est-à-dire 4$\alpha^2-\alpha-4-\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^2}=0)  équivaut à 4$u^2-u-6=0

D'accord ?

Posté par k-maro (invité)re : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:04

c'est tout ? on n' a pas de conclusion a faire ? rien d'autre à ajouter ?

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:08

non

Posté par k-maro (invité)re : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:13

et c comme ça que l'on démontre l'équivalence ? yaurait pas une rédaction plus appropriée comme dans la 1)b ?

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:15

non ici on procède directement par équivalence, rien d'autre à ajouter

Posté par k-maro (invité)re : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:15

parce que ma professeur de mathématiques est très strict dans la rédaction.

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:17

Tu peux juste dire que :

4$\alpha^2-\alpha-4-\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^2}=4$\alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}-\alpha-\frac{1}{\alpha}-4

Donc en posant u=...., on a : ....

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:17

Oublie le 4$

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:18

Tu veux que je détaille plus ?

Posté par k-maro (invité)re : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:20

je veux bien si ça ne vous dérange pas. merci beaucoup !

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:23

On pose \fbox{4$u=\alpha+\frac{1}{\alpha}}

4$\alpha est solution de 4$(E)

4$\Longleftrightarrow \alpha^2-\alpha-4-\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^2}=0

4$\Longleftrightarrow \alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}-\alpha-\frac{1}{\alpha}-4=0

4$\Longleftrightarrow u^2-2-u-4=0

4$\Longleftrightarrow u^2-u-6=0

Posté par k-maro (invité)re : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:27

ok... merci beaucoup et l'équivalence du 1)b est justifiée aussi ? ou bien on peut encore justifier ?

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:28

Non, pour le 1)b) c'est bon.

Posté par k-maro (invité)re : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:32

ok merci

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:33

de rien

Donc pour les solutions de l'équation tu trouves quoi ?

Posté par k-maro (invité)re : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:34

mais pour la dernière question, on détermine u à l'aide de l'équation ?

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:34

Bah oui, avec 4$u^2-u-6=0

Posté par k-maro (invité)re : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:40

ça donne donc u 2 -u = 6
(+1/)2 - (+1/)= 6
mais après je bloque pour la résolution de l'équation.

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:42

Non, il faut d'abord calculer 4$u !  (c'est la question, regarde l'énoncé)

Donc il faut résoudre 4$u^2-u-6=0

C'est une équation du second degré, donc pour la résoudre, tu peux utiliser par exemple la méthode du discriminant.

D'accord ?

Posté par k-maro (invité)re : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:44

désolé mais je ne comprends plus.

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:46

C'est pas moi qui invente les questions...

Citation :
Déterminer u puis les racines de P(x).


Quelles sont les solutions de 4$4$u^2-u-6=0

Posté par k-maro (invité)re : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:51

désolé mais je vous promets que je ne sais pas du tout comment résoudre cette question.
ce ne serait pas :
u = u 2 - 6
Donc : u 2 - 6 = + 1 /

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:54

Tu as vu le discriminant ? le 4$\Delta ?

Posté par k-maro (invité)re : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:56

non parce que notre professeur nous a donné ce DM comme une sorte de punition alors que nous avons à peine commencé ce chapitre, c'est pour cela que je vous demande de l'aide pour cette question. merci !

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:56

Ici, on ne fait pas encore intervenir le 4$\alpha, puisqu'on cherche 4$u !!

Une fois qu'on aura 4$u, il suffira de remplacer dans 4$u=\alpha+\frac{1}{\alpha} pour trouver 4$\alpha.

Posté par k-maro (invité)re : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 20:57

j'aimerais bien que vous rédigiez car je ne comprens pas du tout comme ça.

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 21:02

Citation :
j'aimerais bien que vous rédigiez car je ne comprens pas du tout comme ça.


N'exagère pas quand même.

Si tu n'as pas vu le discriminant, tu peux utiliser la forme canonique (niveau seconde)

4$u^2-u-6=(u-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}-6=(u-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}

Donc 4$u^2-u-6=(u-\frac{1}{2})^2-(\frac{5}{2})^2=(u-\frac{1}{2}-\frac{5}{2})(u-\frac{1}{2}+\frac{5}{2})=(u-3)(u+2)

Les solutions sont donc...

Posté par
fusionfroidere : problèmes sur les polynômes du second degré 30-10-06 à 21:12

Donc 4$u^2-u-6=0 \Longleftrightarrow (u-3)(u+2)=0

Donc 4$u= ???  OU  4$u= ???

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