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produit scalaire
voila j'ai deux exo de maths pour un dm et j'ai essayé de le faire toute cette semaine mais je n'y suis pas arrivée pouvez-vous m'aider.
exercice 1
l'image est pour cette exercice
C est le cercle de diamètre [AB] et de centre O représenté ci-dessus. A tout point M de C distinct de A et B, on associe les points M1 et M2 images de M par les rotations de centre respectifs A et B, d'angle + Pi/2.
M' et le milieu du segment [M1M2].
On cherche à démontrer que M' appartient au cercle C et que les droites (OM) et (OM') sont perpendiculaires.
a) Exprimer vecteurOM en fonction de vecteurAM et vecteurBM.
b) Exprimer vecteurOM' en fonction de vecteurAM1 et vecteurBM2
c) Comparer ||vecteurOM||2 et ||vecteurOM'||2
d) Démontrer que vecteurOM . vecteurOM' = 0
e) Conclure.
deuxième exercice
A et B sont deux points distincts.
a) Déterminer et représenter l'ensemble E des points M tels que vecteurMA . vecteurMB = 0.
b) I est le milieu de [AB]. Déterminer et représenter l'ensemble J des points tels que :
(vecteurMA + vecteurMB) . vecteurMA = 0
Bonjour,
Exercice 1
a)
En vecteurs :
AM + BM = AO + OM + BO + OM
AM + BM = (AO+BO) + 2OM
Or O est le milieu de [AB]. Donc :
AM + BM = (AO+BO) 2OM
OM = (1/2)[ AM + BM ]
b) De même, puisque M' est le milieu de [M1M2] :
OM' = (1/2)[ OM1 + OM2 ]
Puis :
OM' = (1/2)[ OA + AM1 + OB + BM2 ]
OM' = (1/2)[ (OA+OB) + AM1 + BM2 ]
Or O est le milieu de [AB]. Donc :
OM' = (1/2)[ AM1 + BM2 ]
c)
On a vu en a) que, en vecteurs :
OM = (1/2)[ AM + BM ]
Donc :
||OM||² = (1/4)[ AM² + BM² + 2AM.BM ]
Or le triangle AMB est rectangle en M (pourquoi ?), donc AM.BM = 0 et :
||OM||² = (1/4)[ AM² + BM² ]
On a vu en b) que, en vecteurs :
OM' = (1/2)[ AM1 + BM2 ]
Donc :
||OM'||² = (1/4)[ AM1² + BM2² + 2AM1.BM2 ]
Or (AM1) et (BM2) sont perpendiculaires (à justifier !), donc AM1.BM2 = 0 et :
||OM'||² = (1/4)[ AM1² + BM2² ]
Or AM1 = AM et BM2 = BM
Donc :
||OM||² = ||OM'||²
merci pour ta réponse mais j'ai pas compris pourquoi tu as multiplié par 1/2 ou par 1/4. merci pour une partie de mon exo
a)
En vecteurs :
AM + BM = AO + OM + BO + OM
AM + BM = (AO+BO) + 2OM
Or O est le milieu de [AB]. Donc :
AM + BM = 0 + 2OM
OM = (1/2)[ AM + BM ]
voila pour la question d) j'ai fait un truc mais je c'est pas si j'ai bien fait
En vecteur
OM.OM'=(AM/2 + BM/2).(AM1/2 + BM2/2)
=(AM/2 . AM1/2) + (AM/2 . BM2/2) + (BM/2 . AM1/2) + (BM/2 . BM2/2)
=AM + (AM.BM2)/2 + (BM.AM1)/2 + BM
voila mais la je suis bloqué
je passe de AM.AM1 à AM car am et AM ont la même longueur donc cela donne 2AM et comme on divise par 2 cela donne AM
Je suspends mon intervention ici.
Il me semble urgent que tu apprennes ton cours sur le produit scalaire.
Les vecteurs AM et AM1 sont orthogonaux, donc leur produit scalaire est nul.
desolé don cela va donner ca
En vecteur
OM.OM'=(AM/2 + BM/2).(AM1/2 + BM2/2)
=(AM/2 . AM1/2) + (AM/2 . BM2/2) + (BM/2 . AM1/2) + (BM/2 . BM2/2)
= 0 + pi/2 + (-pi/2) + 0
= 0
voila la je pense que c'est ca
car dans l'énoncé on dit qu'on fait une rotation d'angle +pi/2
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